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第三章 积分及其应用 正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算—积分法.前面我们已经学习了已知函数的导数和微分，本模块主要研究与其相反的问题，即已知一个函数的导数和微分，如何求其原来的函数，这就是一元函数的积分学.本模块主要学习不定积分和定积分的概念、性质、不定积分和定积分的求法及其应用. 第一节 不定积分 一、不定积分的定义 1．原函数的概念 设函数定义在区间上，如果存在一点，都有=，则称函数是在上的一个原函数. 例如，在内，有=，所以，是在内的一个原函数．显然，，（为任意常数），即，也是在内的原函数. 由以上情况可知，如果一个函数的原函数存在，那么必有无穷多个原函数。那么如何寻找所有的原函数呢？如果能找到原函数之间的关系，那么找出所有的原函数也就不难了. 定理 如果函数在区间上有原函数，则 （为任意常数） 也是在上的原函数，且的任一个原函数均可表示成的形式. 2．不定积分的概念 若是在区间上的一个原函数，那么表达式（为任意常数）称为在上的不定积分，记作 ， 即 . 其中，—积分变量，—被积函数，—被积分表达式，—积分号.为任意常数， 求，就是求的全体原函数。因此，只需求出的一个原函数，再加任意常数即可. 例1 求. 解： 由于，即是的一个原函数，因此，. 二、不定积分的基本公式 由于积分运算是微分运算的逆运算，因此我们可以从基本的导数公式得到相应的基本积分公式: (1)(是常数) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)?. 以上基本积分公式，是求不定积分的基础，必须熟记，下面举几个应用基本公式求不定积分的例子. 例2 求. 解：. 例3 求. 解：. 三、不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质： 性质 1 设函数及的原函数存在，则 . 性质2 设函数的原函数存在，为非零常数，则 . 利用基本积分表以及不定积分的两个性质，可以求出一些简单函数的不定积分. 例4 求. 解：. 例5 求. 解：. 四、不定积分的解法 利用基本积分表和积分公式的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此，有必要来进一步研究不定积分的求法.下面介绍三种求不定积分的方法. 1.换元积分法 设有原函数( ( 且可微( 那么( 根据复合函数微分法( 有 ((( ( ( 所以 ( (( (( 因此 ( 即 (((C( 定理1 设f(u)具有原函数( u(?(x)可导( 则有换元公式 . 被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待( 从而微分等式?((x)dx (du可以应用到被积表达式中( 在求积分时( 如果函数g(x)可以化为g(x)( f[?(x)]?((x)的形式( 那么 ( 例6 求. 解：将换为，则 . 例7 求. 解：被积分式中有因子，又中有，所以试用 . . *例8 解： ( 熟练之后( 变量代换就不必再写出了( 即 ( 含三角函数的积分( 例9 解： ( 例10 解： (? 例11 解： ( 2．分部积分法 前面我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法.现在我们利用两个函数乘积的求导法则，来推得另一个求积分的基本方法—分部积分法. 设、是关于的可微函数，由微分运算法则，有 移项，得 两端积分，得