第四章 根轨迹法的.docVIP

四 根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： （1） （2） （3） （4） 试绘制由变化的闭环根轨迹图。 【解】：（1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一 令，得 方法二 将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2（1）解图所示。 （2） ① 根轨迹方程 开环零点，开环极点。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上，为分离点，为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以为圆心，以为半径的圆（教材已证明）。根轨迹如题2-4-1（2）解图所示。 （3） ① 开环零点开环极点。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2（3）解图 为分离点，不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1（3）解图所示。 （4） 四个极点。 渐近线 实轴上的根轨迹区间为。 分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 出射角 根轨迹与虚轴的交点 系统根轨迹如题2-4-1（4）解图所示。 2-4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：试绘制由变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的值范围。 【解】：系统有两对重极点 。 ① 渐近线 ② 实轴上的根轨迹为两点 ，也为分离点。分离角均为。 ③ 根轨迹与虚轴的交点坐标 系统特征方程 即 令代入特征方程，得 令上式实部虚部分别等于0，则有 ④ 该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。由图可知，当时，闭环系统稳定。 2-4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试绘制由变化的闭环根轨迹图； （2）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时的值范围； （3）为使系统的根轨迹通过两点，拟加入串联微分校正装置，试确定的取值。 【解】：（1），根据一般根轨迹绘制法则求得 渐近线与实轴的交点： 渐近线倾角：。 实轴上的根轨迹在区间。 分离点：。 根轨迹与虚轴的交点坐标：。 ⑤ 该系统根轨迹如题2-4-4解图所示。 （2）系统的阶跃响应不出现超调的条件是特征根在左半平面的实轴上。根轨迹在实轴上的分离点的K值已由（1）求得，所以在时系统不产生超调。 （3）串联微分校正环节后系统的开环传递函数变为 系统特征方程为 若是根轨迹上的点，则必满足特征方程。代入特征方程，得： 2-4-5 已知单位负反馈系统的闭环传递函数为 （1）试绘制参数由变化的闭环根轨迹图； （2）判断点是否在根轨迹上； （3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比时a的值。 【解】：（1）系统的特征方程为 等效开环传递函数为：，a由变化为一般根轨迹。 开环零点，开环极点。 实轴上的根轨迹在区间。 分离点 由 得 解得为分离点，不在根轨迹上，舍去。。 共轭复根的出射角 复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-5解图所示。 （2）把代入相角条件中，若满足则是根轨迹上的点，反之则不是。 点不在根轨迹上。 （3）求等超调线与根轨迹的交点 方法一 ，设等超调线与根轨迹交点坐标实部为，则，有 令等式两边s各次项系数分别相等，得 方法二 由特征方程，按照典型二阶系统近似计算得： 另外，把代入特征方程也可求得同样结果。 2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）试绘制参数由变化的闭环根轨迹图； （2）求出临界阻尼比时的闭环传递函数。 【解】：（1）系统特征方程为 等效开环传递函数为： a由变化为一般根轨迹。 开环极点。 渐近线与实轴的交点：，渐近线倾角：。 实轴上的根轨迹在区间。 分离点 由 得 解得为起点，为分离点。。 根轨迹与虚轴的交点 令，代入特征方程得 ⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。 （2）时，对应实轴上根轨迹的分离点，。因为，可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标 系统闭