已修一类双曲型方程弱解的正则性.docVIP

一类双曲型方程弱解的正则性 贺宣军,宋文静, 夏子伦.郑忠志 （云南民族大学 数学与计算机科学学院，昆明650500） 摘要：在偏微分方程的研究过程中，关于方程弱解正则性的研究是一个非常有价值的研究领域。在一定的假设条件下，利用一些方法和技巧，我们可以获得一类偏微分方程初边值问题弱解的正则性。这些方法技巧包括：逼近法，弱收敛,不等式等。 关键词：双曲型方程；正则性；弱收敛；伽罗金逼近 中图分类号：O29 文献标识码：A Regularity of The Weak Solutions for A Class of Hyperbolic Equations HE Xuan-jun, SONG Wen-jing , XIA Zi-lun (School of Mathematics and Computer Science, Yunnan Nationalities university, Yunnan Kunming 650500) Abstract: In the study of partial differential equations, research on the regularity of weak solutions is a very valuable research field. By making use of some methods and techniques, studying the initial/boundary-value problem to above hyperbolic equations, the regularity of the weak solutions can be obtained under certain conditions. The methods and techniques include Galerkin-approximation, the weak convergence, Sobolev-inequalities, etc . Keyword: the hyperbolic equations; regularity; the weak convergence; Galerkin- approximation 引言 空间理论的建立，使相关的其他学科（如泛函分析，实变函数，调和分析等）的知识恰当地应用到当代偏微分方程理论研之中。当代偏微分方程解的研究总会在合适的泛函空间中考虑其弱解的性质，而空间的引进（参看文献[1-2]）则为这一研究提供了有效的方法。借助空间，可以在更广泛的函数类中寻求方程的解，使得可解性变得容易，而这种解被称为“弱解”或“广义解”。本文给出了二阶双曲型方程： 在一定假设条件下弱解正则性的研究。关于二阶双曲型方程弱解的正则性问题很多学者已经作出了广泛的研究，如文献[2-4]的作者的研究是在偏微分算子的系数,,光滑并且与时间无关的条件下进行的。本文对系数的要求范围进行拓宽，使系数关于光滑的同时与时间有关，只要对系数稍加限制便可获得与文献[2]同样的结论。 准备知识 本文设是一有界开集，光滑，(为某一固定时间)，函数已知；初边值函数,已知，函数未知。与时间有关的 偏微分算子是双曲型算子，即存在常数，使得: 。 也就是说，与时间有关的偏微分算子是一满足上述已知条件的椭圆型算子，且具有散度形式： ， 这里的系数满足拓宽后的条件。取一组光滑函数满足是的正交基（但不是标准的）且是的标准正交基（这种基的存在性参考文献[2]中的§6.51）。这里和是无限维的，现在转到有限维空间上处理问题。固定为一正整数，则是中个线性无关的函数，由此便张成一维的的线性子空间.在空间上找到一个函数使得： 则为的近似解序列。若果当时在弱意义下有并且的每一项都可取极限得： 则得到的弱解,这种求解方法叫做“逼近法”。 注意：这里记,，；记，（其中）；记为的内积；记双线型形式： 。 因为是的正交基，所以式成立等价 成立。关于弱解的逼近，我们对固定的正整数，记，要求系数满足： 。 主要结果 定理1 设算子系数满足且，假设函数 同时也假设，，是二阶双曲型方程的一个弱解，则有 , 且 常数与,及算子的系数有关。 此外，如果 ,, 则有 ，， ，， 且 常数与，及算子的系数有关。 定理1的证明 1)、用乘以式两边，并对关于的等式求和，得 ， 上式中,记双线型 。 由，可