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立體模型及其展開圖 -- MP_Lab在數學新課標教學中的應用之一 -- 韋輝樑 2004年8月 前言 在北京師範大學出版社根據教育部制訂的「全日制義務教育」數學課程標準出版的「數學」七年級上冊教材中，第一章「豐富的圖形世界」共29頁，編幅不多，但教材的編輯與以往教材的編輯有很大的不同。 首先，編者考慮到學生在小學畢業之後，又經過一個漫長的暑假，進入了一個嶄新的中學學習旅程，開學之初要讓學生收拾心情投入學習，這時不要立即編排十分動腦的理論知識的學習，而要把激發學生的學習興趣放在第一位。教材以一幅現代城市的照片，由柱形的高大建築物、弧形的高架路橋、圓形的交通樞杻，把同學們從日常生活中引領進入了一個豐富的圖形世界，開始了中學階段的幾何之旅。 全章書沒有傳統的定義、公式、定理、證明、習題，而是連舊帶新地讓學生認識平面圖形、立體圖形，包括多邊形、圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、圓台、棱台、旋轉體以及正多面體等眾多圖形的概念，同時介紹各種研究圖形的方法，如視圖、展開圖、圖形的分割和變換等。編幅不多，但內容卻十分豐富。 「展開圖」是傳統教材中所沒有的。「展開圖」是研究空間圖形的方法之一，也有著藝術設計、模型設計的現實應用意義。由展開圖到立體圖形，反之，由立體圖形到展開圖有一個廣闊的想像空間，教材有意留下這個想像空間去培養學生的空間想像能力。這體現了新教材著重提高學生數學素質的思路，同時也體現了從“學習知識”到”學習方法”的轉軌。 MP_Lab是一個拼圖實驗室，有作圖、拼圖、圖形分割、圖形變換的強大功能，可以非常好的效果配合新課標教材的教學。本文介紹MP_Lab在「展開圖」上的教學應用，並提出「立體模型展開圖設計項目活動」的建議，以供參考。 教材內容 教材第一節介紹了「生活中的立體圖形」，包括圓柱、圓錐、正方體、長方體、棱柱和球。 教材第二節介紹了棱柱的棱、頂點和面。舉例畫出棱柱的展開圖，並說明將展開圖折疊後可以圍成一個棱柱。 教材舉出不同的展開圖，讓學生想像，這些展開圖可以或不可以圍成怎樣的棱柱。 「展開圖」的內容十分豐富，又很有藝術設計價值，但囿於課堂時間緊迫，雖然教材留有很大的想像空間和拓展空間，但卻缺少讓學生想像的時間，故適合作為項目作業(Project)，將課堂學習延續到課外完成。如果允許學生與父母、兄姐一道探討，還可促進親子教育和家校合作。 在MP_Lab上進行立體模型展開圖的設計 讓學生親自動手，設計並畫出展開圖，再動手折疊成立體圖形，可以進一步檢驗自己的設計、增強學生的空間想像能力、訓練手工操作技巧、培養設計的興趣和能力。 下面是一些設計的例，在MP_Lab上作出展開圖，是輕而易舉的事，關鍵是想像，只要想像得到，便能輕易作出。課堂上，教師可以先即席示範作圖，邊作圖，邊講解自己的思考過程，同時用事先折疊好的立體模型加以解說。例如下面的長方體(四棱柱)及其展開圖。講解時要附帶介紹貼邊的用處以及不同的展開方法可以有不同的展開圖。 例1. 正六棱柱 提示: 請自行另加貼邊，以便粘合。 例2. 不等邊五棱柱 提示: 1. 注意展開圖中長方形的寬度要與上下底面五邊形對應邊的長度相待，這可用測量法或比較法達成。 2. 請自行另加貼邊，以便粘合。 例3. 正五棱錐之一 提示: 先畫一個大的正五邊形 然後用小刀切割出一個五角星(如左圖) 將多餘部分拿走，再加貼邊。 注意貼邊的形狀，想想為甚麼。 例4. 正五棱錐之二 提示: 展開圖不是唯一的， 之二的展問圖較之一的展開圖較易折疊和粘貼。 例5. 正四面體 提示: 先作一個正三角形； 然後用軸對稱作圖法，作出另外三個正三角形； 最後加貼邊。 例6. 正六面體(立方體) 提示: 利用格線作出正方形； 貼邊位置與折疊粘合操作的方便性有關。 3. 左圖的貼邊位置不一定是最好的，請自行研究。並與同學交流心得。 例7. 正八面體 提示: 先作一個正三角形； 然後用軸對稱作圖法，作出另外的正三角形； 最後加貼邊。 例8. 正12面體 提示: 先作一個正五邊形； 然後用軸對稱作圖法，作出另外的正五邊形； 最後加貼邊。 例9. 正20面體 提示: 先作一個正三角形； 然後用軸對稱作圖法，作出另外的正三角形； 最後加貼邊。 例10. 半圓柱 提示: 先作一訪長為4的正方形； 再作一個半徑為2的圓，用小刀切割成兩個半圓，拼成如左圖的左部； 用測量方法，測出半圓的周長， 作左圖右部的矩形，其寬度 = 半圓周長- 4。 最後自行加貼邊。貼邊要剪成牙齒狀。 例11.圓柱 提示: 先作2個半徑為2的圓； 用測量方法，測出圓的周長， 作矩形，其長度 = 圓周長。 最後自行加貼邊。貼邊要剪成牙齒狀。 例12. 圓錐 提示 在極座標