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数学物理方法 数学物理方法 傅里叶变换 傅里叶变换 傅里叶变换 傅里叶变换 §5-1 傅里叶级数 §5-2 傅里叶积分与变换 §5-3 狄拉克函数 本章小结 傅里叶级数 傅里叶级数 三角级数 定义 由周期为2 π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数 ∞ a a nx b 1 nx + ( cos sin+ ) 2 0 ∑n 1 n n 基本函数族 • 组成：1，cos(nx)，sin(nx) • 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性； π π cos cos 0 sin sin nx 0 mxdx ， nx mxdx ≠n，m ∫−π ∫−π π cos sin ∫−nx0 mxdx π 傅里叶级数 傅里叶级数 傅里叶展开 傅里叶展开定理： 周期为2 π的函数f(x) 可以展开为三角级数， 展开式系数为 1 π 1 π a f x nxdx b f x nxdx(n ) cos ∫− , n ∫−( ) sin π π π π 狄利克雷收敛定理 • 收敛条件 • 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； • 在一个周期内至多只有有限个极值点。 • 收敛结果 • 当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； • 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。 傅里叶级数 傅里叶级数 展开举例 对称函数 奇函数： 2 π a b f x nxdx0, ( )sin