3-4平面上的线性变换.PDFVIP

3-4 平面上的線性變換 ◎平面上的線性變換  a b  ※線性變換的矩陣表示法: 給了一個二階方陣 A ＝ c d  ，則方陣A 將平面上每一點 x ＝ax ＋by  P ( x ，y ) 變換到 P ( x ，y ) ，其坐標關係式為  (A) y ＝cx ＋dy  (A)式的右邊是x ，y的一次式， (A)式稱為平面上的線性變換，  x   a b   x  (A)式亦可用矩陣的乘積表示成 ＝  y   c d   y   x  ※註 : (1)為了便於運算，點P ( x , y ) 有時看成位置向量 OP ＝( x , y )或表成行矩陣  y  。 (2)平面上每一個“線性變換都對應唯一的一個二階方陣，所以每一個” “二階方陣A”在變 換的意義下可視為平面上的“線性變換” 。 例題 1  2 1  A ＝ 3 4  ，求坐標軸上的單位點( 1 ，0 ) ，( 0 ，1 ) 在 A變換下的像點 答 : ( 2 ，3 ) ，( 1 ，4 ) 例題 2  2  A  4   5  A  7  求一個線性變換A使得 ─→  －2 ， ─→ ，並求點P ( 4 ，－2 ) 在 A變  1     3   1  換下的像點P 。  5 -6 答 : A=   。(ii) P( 32 ，－52 ) 。 -7 12 98  a b   p 1   q1  ※線性變換的基本性質:設 A ＝ c d 是平面上的線性變換，P ＝ p 2  ，Q ＝ q2 是 相異兩個點，則 (1) A 恆將原點 O變換到原點 O 。 (2) A ( rP ＋s Q ) ＝r ( AP ) ＋s ( AQ ) 。( r ，s R ) (3) 若 det ( A )≠0 ，則A 將直線L變換到直線 L 。 證明： (1)顯然成立。 ( 前面談過 ) (2)由矩陣乘法性質 A ( rP ＋sQ ) ＝A ( rP ) ＋A ( sQ ) ( 分配律 ) ＝r ( AP ) ＋s ( AQ ) 。 (3) 假設 P ，Q在直線 L 上。L 上任一點X 恆可寫成