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* 一、向量组线性相关的概念 第三节 向量组的线性相关 二、向量组线性相关的有关定理 一、向量组线性相关的概念 定义3.6 对于向量组　　　　　 如果存在不全为 零的数　　　　　使得 则称向量组　　　　　 线性相关. 线性无关,即如果仅当 都等于时,才有 成立,则称向量组　　　　　线性无关． 否则,称向量组 例3.15 证明含有零向量的任一向量组线性相关． 则有不全为零的数 使得 证: 设此向量组为　　　　　　取 所以向量组　　　　　　 线性相关． 例3.16 单一的非零向量　线性无关． 所以单个的非零向量线性无关． 实际上, 对 仅当 才有　　　 例3.17 证明n维初始单位 线性无关． 证: 设有数　　　　　要使 成立,则必有 所以 线性无关． 即 以　　　　 为未知量的齐次线性方程组 有非零解　　　　　　　　　　　 向量组 线性相关 由向量组线性相关的定义,有 由此有如下定理: 定理3.6 向量组　　　　　线性相关的充要条件 是齐次线性方程组 有非零解． 定理3.6* 向量组　　　　　线性无关的充要条件 是齐次线性方程组 仅有零解． 另一叙述方式是: 利用定理3.3及其推论,还可以得到两个推论: 中所含向量个数大于方程维数时, 此向量组线性 相关． 实际上,当 时,齐次线性方程组 中未知量个数大于方程个数,故方程组必有非零 推论２ 若向量组　　　　　中　　　即向量组 解,所以向量组　　　　　线性相关． 推论１ n维向量组　　　　　线性相关（无关） 的充分必要条件是矩阵　　　　　　　 的秩 查看定理3.3 推论3 是行列式 则向量组 线性相关的充分必要条件 设n维向量 是以　　　　　为列向量的矩阵的秩小于n. 所以,有 实际上,由推论1, n维向量组　　　　　线性 相关(无关)的充分必要条件是矩阵　　　　　　　 的秩 n维向量组 线性相关的充要条件 推论3也可以叙述为： 是行列式 则向量组 线性无关的充分必要条件 设n个n维向量组 是线性相关，还是线性无关． 例3.18 判断向量组 化为阶梯行矩阵： 由于　　　　　所以向量组　　　　线性相关． 解 设矩阵　　　　　　 对矩阵A施以初等变换 例3.19 设向量组 试问： (1) t为何值时,向量组　　　 线性相关?线性无关? (2) t为何值时,向量组　　　　　 线性相关？ 线性无关？ 解 (1)记矩阵 根据定理3.6的推论3, 当　　 即　　时,向量组　　　　线性相关， 当　　 即　　时,向量组　　　 线性无关． 则 查看 向量个数大于向量维数, 由定理3.6的推论2, (2) 由于向量组 共含有４个向量， 都线性相关． t 取任意值,向量组 即向量组中所含向量个数大于方程维数时, 此向量组线性相关． 定理3.6推论２ 若向量组 　　　　　中　　　 所以 则向量组 也线性无关． 证法一　设有数　　　　使得 即 整理得 因为　　　　线性无关,上式中的系数全为0,即 例3.20 证明：如果向量组　　　　线性无关, 因系数行列式 故方程组仅有零解 由此可知向量组　　　　线性无关． 由式 得 证法二　设矩阵 由题设: 因为行列式 利用§2.3 　　　线性无关． 即 有 而向量组　　　　线性无关,所以　　　　 中例2.18的结论,有 把每个向量都添加２个向量,得到五维向量组 试证：　　　　也线性无关． 例3.11　设向量组　　　　线性无关，其中 设有数　　　　使得 由此可得齐次线性方程组 证　 因为　　　　线性无关,所以上面的方程组中 前三个方程所组成的方程组仅有零解 于是上面的方程组也仅有零解.因此, 向量组　　　　线性无关． 注: 该题结论可以一般化: 线性无关,把每个 向量都添加m个分量, 则所有　　 维向量组 也线性无关． 如果n维向量组 则上述结论就可以叙述为 如果向量组线性无关,则其延长组也无关． 由此又可以得到 如果向量组线性相关,则其缩短组也线性相关． 若把　　　　　 称为 的延长组. 把　　　　　称为 的缩短组． 二、向量组线性相关的有关定理 充要条件是其中至少有一个向量是其余　　个 向量的线性组合． 证　必要性　若向量组　　　　　 线性相关， 则存在不全为零的数　　　　　有 不妨设　　　则 定理3.7 向量组　　　　　　　　线性相关的 个向量的线性组合． 即 上式表明,不全为零的数　　　　和　　使得 的线性组合等于零向量． 充分性　若　　　　　至少有一个向量是其它 因此向量组　　　　　线性相关． 不妨设 充要条件是向量组中的每个向量都不能由其余