7高考一轮复习数学：不等式证明(一).docVIP

6.2 不等式的证明（一） ●知识梳理 1.均值定理：a+b≥2； ab≤（）2（a、b∈R+）， 当且仅当a=b时取等号. 2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b. 3.作商法：a＞0，b＞0，＞1a＞b. 特别提示 1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式. 2.比商法要注意使用条件，若＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号. ●点击双基 1.若a、b是正数，则、、、这四个数的大小顺序是 A.≤≤≤ B.≤≤≤ C.≤≤≤ D.≤≤≤ 解析：可设a=1，b=2，则=，=， =，===. 答案：C 2.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是 A.a B.b C.c D.不能确定 解析：∵0＜x＜1，∴1+x＞2=＞.∴只需比较1+x与的大小. ∵1+x－==－＜0，∴1+x＜. 答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 必要条件 解析：当a＞0，b2－4ac＜0时，ax2+bx+c＞0. 反之，ax2+bx+c＞0对x∈R成立不能推出a＞0，b2－4ac＜0. 反例：a=b=0，c=2.故选A. 答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式： ①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c. 其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上） 解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立. ∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c. 故④成立，⑤不成立. 答案：①②④ （文）若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________. 解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a； ②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）； ③a5+b5－a3b2－a2b3=a3（a2－b2）+b3（b2－a2） =（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）. ∵（a－b）2≥0，a2+ab+b2≥0，但a+b符号不确定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正确； ④a∈R时，a+≥2不正确. 答案：①② 5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________. 解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=， 平均速度v1==. ∵v1－v2=－v2=－＜0，∴v1＜v2. 答案：v1＜v2 ●典例剖析 【例1】 设a＞0，b＞0，求证：（）（）≥a+b. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明. 证法一：左边－右边＝－（＋） ＝ ＝＝≥0. ∴原不等式成立. 证法二：左边＞0，右边＞0， ＝＝≥＝1. ∴原不等式成立. 评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用. 【例2】 已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y. 求证：＞. 剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合. 证法一：（作差比较法） ∵－=， 又＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay. ∴＞0，即＞. 证法二：（分析法） ∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞， 只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya. 而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0， 知xb＞ya显然成立.故原不等式成立. 思考讨论 该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一：令f（x）=，易证f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而＞. 再令g（x）=，易证g（x）在（0，+∞）上单调递减. ∵＞，a、b∈R+.∴a＜b. ∴g（a）＞g（b），即＞，命题得证. 解法二：原不等式即为＞， 为此构造函数f（x）=，x∈（0，+∞）. 易证f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，而＞， ∴＞，即＞. 【例3】 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6