第六章 代数结构.pptxVIP

第六章 代数结构6.2 半群定义6-2.1 一个代数系统S,*，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果运算*是封闭的，则称代数系统S,*广群。定义6-2.2 一个代数系统S,*，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果 (1) 运算*是封闭的。 (2) 运算*是可结合的，即对任意的 x,y,z?S，满足 (x*y)*z=x*(y*z) 则称代数系统S,*为半群。示 例例1: 设集合Sk={x|x?I ? x?k, k?0}, 那么Sk,+是一个半群，其中+是普通的加法运算。解: 因为运算+在Sk上是封闭的，而且普通加法运算是可结合的，所以，Sk,+是一个半群。例2: 设S={a,b,c}, 在S上的一个二元运算?定义如下表，验证S, ?是一个半群。?abcaabcbabccabc解: 从表中可知运算?是封闭的，同时a,b,c 都是左幺元。所以，对于任意的a,b,c?S, 都有 a?(b?c)=a?c=c (a?b)?c= b?c=c 因此, S, ?是半群。 定理6-2.1 设S,*是一个半群，B?S且*在B上是封闭的，那么B,*也是一个半群。通常称B,*是半群S,*的子半群。证明: 因为*在S上是可结合的，而B?S且*在B上是封闭的，所以*在B上也是可结合的，因此，B, *是一个半群。示例例: 设·表示普通乘法运算，那么[0,1], ·、[0,1), ·和I, ·都是R, ·的子半群。解: 首先，运算·在R上是封闭的，而且是结合的，所以R, ·是一个半群。其次，运算·在[0,1]、[0,1)和I上都是封闭的,且[0,1]?R,[0,1)?R, I?R。 因此,由定理6-2.1可知[0,1], ·、[0,1), ·和I, ·都是R, ·的子半群。定理6-2.2 设S,*是一个半群，如果S是一个有限集，则必有a?S,使得a*a=a。(等幂)证明 因为S,*是半群。对于任意的b?S,由*的封 闭性可知 b*b?S, 记b2=b*b b2*b=b*b2 ?S,记b3=b2*b=b*b2 … 因为S是有限集，所以必定存在ji, 使得 bi=bj 令 p=j-i 便有 bi=bp*bi (P?1)—— (1) 由(1)式有 bq=bp*bq (q≥i) —— (2) 又p≥1,所以总可以找到k≥1,使得kp≥i 对于S中的元素bkp, 由(2)式可得 bkp=bp*bkp =bp*(bp*bkp) =b2p*bkp =b2p*(bp*bkp)=… =bkp*bkp这就证明了在S中存在元素a=bkp,使得 a*a=a定义6-2.3 含有幺元的半群称为独异点。例如，代数系统R,+是一个独异点，因为，R,+是一个半群，且0是R中关于运算+的幺元。另外，代数系统I,·，I+,·，R,·都是具有幺元1的半群，因此它们都是独异点。定理 6-2.3 设S,*是一个独异点，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。证明 设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意的a,b?S且a≠b时，总有 e*a=a≠b=e*b 和 a*e=a≠b=b*e 所以, 在*的运算表中a行及b行不可能相同, a列与b列也不可能是相同的。 例题 设I是整数集合, m是任意正整数, Zm是由模m的同余类组成的同余类集, 在Zm上定义两个二元运算+m和?m分别如下： 对于任意的[i],[j]?Z [i]+m[j] = [(i+j) (mod m)] [i] ?m[j] = [(i?j) (mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不相同。证明 考察代数系统Zm,+m和Zm, ?m。(1)由运算+m和?m的定义，可知它们在Zm上都是封闭的。 (2)对于任意[i],[j],[k]?Zm ([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k]) =[(i+j+k) (mod m)] ([i] ?m[j]) ?m[k]=[i]?m([j]?m[k]) =[(i ? j ? k) (mod m)] 即+m , ?m都是可结合的。 (3) 因为 [0]+m[i]= [i]+m[0]=[i],所以, [0]是Zm,+m中的幺元。因为[1]?m[i]=[i]?m[1]=[i],所以[1]是Zm, ?m中的幺元。 因此，代数系统Zm,+m, Zm,×m都是独异点。由定理6-2.3可知，这两个运算的运算表中任何两行或两列都不相同。 本例中, 如果给定m=5, 那么, +5和×5的运算表分别如下所示。?5 [0] [1] [2] [3] [4] [0][1][2][3][4] [0] [0] [0] [0] [0][0] [1] [