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第2章　随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布函数 一．随机变量 为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，需引入随机变量的概念． 例1．E——抛一枚硬币， ． 在上定义一个函数：． 由于试验的结果是随机的，的取值也是随机的，称为随机变量． 例2．E——测量某一地区成年人的身高， ={全体成年人}．在上定义 身高，单位m），H随被测量的人的不同而不同，取值随机．随机变量 (r. v.)：定义于样本空间上的一个实值可测函数 X ．引入随机变量之后，随机事件可通过随机变量来简便地表示． 例1中，“出现H” ——；　“出现T” ——． 例2中， “身高达到1.70m” ——“”；“身高在1.60m～1.80m间” ——“”． 随机变量与普通函数的区别： (1) 定义域不同；　　　　　　　　(2) 随机变量的取值随机，试验之前只能知其取值范围． 随机变量的取法、及其在研究随机现象中的作用． 二．分布函数为全面掌握r.v. 的统计规律性，引入分布函数概念． 随机变量X，，称 ，为X的分布函数． ——随机点的坐标X落在区间内的概率． 注：(a) ； F(x) (b) 是普通函数，便于用微积分工具研究r.v.． 1 分布函数的基本性质： ．是单调非减函数； ．，， o 1 x ；．是右连续函数：． (说明之) F(x) X 1 2 　　 0.4 0.6 　　 例3．已知 求，，，． 解：． o 1 2 x ； ； ． 例4．在一个形状均匀的陀螺的周围上均匀地刻上区间 的诸值．旋转陀螺，求当它停下时它的周围接触地面处的刻度X的分布函数． 解：由对称性，X落在每个等长度的小区间内的概率相等． ， 分 讨论． 当 ； 当 ，， 由于 ， ， ； 当 ，．　　　　　　　 1 ． o 10 x 2.2 离散随机变量及其分布律 一．离散随机变量 离散随机变量：只取有限多个或可列多个值的随机变量． 如：上例1； 一家商店一小时内接待的顾客次数； 上海市110电话台一天内接到的报警次数． 例：E——射手打靶练习． 环数 0～5 环． 随机变量 X——打中的环数，取值0, 1, 2, 3, 4, 5． 不同射手的射击水平不同，X取各值的概率不同． X 0 1 2 3 4 5 0.5 0.1 0.15 0.05 0.1 0.1 甲射手： X 0 1 2 3 4 5 P 0.75 0.05 0.1 0.05 0.05 0 乙射手： 离散随机变量的分布律：设X取值 ，， 满足：；． X 列表：