13.柯西不等式的一个变式及其应用.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 柯西不等式的一个变式及其应用 解决函数不等式问题的一个技法 柯西不等式在课标中闪亮登场,为解决不等式问题提供了一种新的方法和手段,其中,柯西不等式的一个变式具有强大的解题功能,许多高考试题,甚至自主招生和数学竞赛试题,利用它可以获得极其简洁的证明. [母题结构]:(柯西不等式一个变式)若ai∈R,bi∈R+(i=1,2,…,n),则++…+≥,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时成立. [母题解析]:由柯西不等式:(b1+b2+…+bn)(++…+)≥(++?()2=(a1+a2+? an)2b++?=≥,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时成立. 1.外形结构 子题类型Ⅰ:(2013年课标Ⅱ高考试题)设ab,c均为正数且ab+c=1,证明(Ⅰ)ab+bc+ac≤; (Ⅱ)++≥1. [解析]:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2caa2+b2+c2≥ab+bc+caa2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)(a+b +c)2≥3(ab+bc+ca)1≥3(ab+bc+ca)ab+bc+ac≤; (Ⅱ)由++≥=(a+b+c)=1. [点评]:对于形如的一些式子的和,可直接使用柯西不等式的变式求其最小值或证明不等式,使用柯西不等式的变式可略去匹配系数的技巧. 2.数值铺路 子题类型Ⅱ:(2011年浙江高考试题)设正数x,y,z满足2x+2y+z=1. (Ⅰ)求3xy+yz+zx的最大值; (Ⅱ)证明:++≥. [解析]:(Ⅰ)由3xy+yz+zx=3xy+z(x+y)=3xy+(x+y)-2(x+y)2≤(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=-(x+y-)2+≤,当且仅当x=y=z=时等号成立3xy+yz+zx的最大值=; (Ⅱ)由++=++≥=. [点评]:通过常数,并根据已知条件把待求式中的每一项都变为的形式,是使用柯西不等式的变式解决相关问题的基本技巧. 3.整式变换 子题类型Ⅲ:(2012年福建高考试题)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若a,b,c∈R,且++=m,求证:a+2b+3c≥9. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=m-|x-2|f(x+2)=m-|x|,所以,f(x+2)≥0m-|x|≥0|x|≤m(m≥0)m=1; (Ⅱ)由++=1a+2b+3c=++≥=9. [点评]:利用x=,并根据已知条件把待求式中的每一项都变为的形式,是使用柯西不等式的变式解决有关整式问题的基本技巧. 4.子题系列: 1.(2009年浙江高考试题)已知正数x、y、z满足x+y+z=1. (Ⅰ)求证:++≥; (Ⅱ)求4x+4y+4的最小值. 2.(2010年浙江高考试题)设正实数a,b,c满足abc≥1求++的最小值. 3.(2015年福建高考试题)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4. (Ⅰ)求a+b+c的值; (Ⅱ)求a2+b2+c2的最小值. 4.(2014年福建高考试题)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3. 5.(2004年爱沙尼亚数学奥林匹克试题)若a2+b2+c2=3,试证:++≥1. 6.(2008年南开大学保送生考试试题)设a、b、c为正数,且a+b+c=1,求(a+)2+(b+)2+(c+)2的最小值. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由++≥=(x+y+z)=. (Ⅱ)由4x+4y+4≥3=3≥3,当且仅当x=y=,z=时等号成立4x+4y+4的最小值为3. 2.解:由++≥=≥≥1,当且仅当a=b=c=1时等号成立 ++的最小值=1. 3.解:(Ⅰ)由f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=a+b+c,当且仅当-a≤x≤b时等号成立a+b+c=4; (Ⅱ)由a2+b2+c2≥=,当且仅当a:b:c=2:3:1,即a=,b=,c=时等号成立最小值为. 4.解:(Ⅰ)由f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时等号成立a=3; (Ⅱ)由p+q+r=3p2+q2+r2≥=3. 5.解:由++≥=≥=1. 6.解:由 (a+)2+(b+)2+(c+)2]≥[(a+)+(b+)+(c+)]2=(1+++)2≥[1+]2=,等号当且仅a=b=c