届高考数学一轮必备考情分析学案：《等比数列及其前n项和》.docVIP

6.3等比数列及其前n项和 （2）等比中项法：（3）通项公式法：（4） （5）若均为等比数列，为的前n项和，则；公比不为1的等比数列由相邻两项的差，相邻k项和仍是等比；由原等比数列中相隔k项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质[来源:Z.xx.k.Com] （1）通项公式：①② （2）前n项和公式： （3）下脚标性质：若m+n=p+q，则 （4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成，若四个数成等比通常设成，方便计算 注意事项 1.利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， 同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，Sn＝(q≠1)． (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 等比数列的判断方法有： (1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且nN*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(nN*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则{an}是等比数列． 【例1】设Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求a2的值； (2)若{an}是等比数列，且an＋1an(nN*)，试求Sn的表达式． 解：(1)由已知得： a2＝2. (2)设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q. 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0， 解得q1＝，q2＝2(舍去，an＋1an(nN*))． q＝，a1＝4. 故数列{an}的前n项和Sn＝8－23－n(nN*)． 【1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q(0,1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值． 解　(1)∵a3·a4＝a1·a6＝， 又a1＋a6＝11， 故a1，a6看作方程x2－11x＋＝0的两根， 又q∈(0,1)∴a1＝，a6＝， q5＝＝，q＝， an＝·n－1＝·n－6. (2)由(1)知Sn＝＝21，解得n＝6. 二　等比数列的判定或证明【例2】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，nN*. (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． (1)证明　b1＝a2－a1＝1. 当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1， {bn}是以1为首项，－为公比的等比数列． (2)解　由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1， 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋n－2＝1＋＝1＋ ＝－n－1. 当n＝1时，－1－1＝1＝a1， an＝－n－1(nN*)．【2】设d为非零实数，an＝[Cd＋2Cd2＋…＋(n－1)Cdn－1＋nCdn](nN*)． (1)写出a1，a2，a3并判断{an}是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设bn＝ndan(nN*)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)由已知可得a1＝d，a2＝d(1＋d)，a3＝d(1＋d)2. 当n≥2，k≥1时，C＝C，因此 an＝Cdk＝Cdk＝dCdk＝d(d＋1)n－1. 由此可见，当d≠－1时，{an}是以d为首项，d＋1为公比的等比数列； 当d＝－1时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}不是等比数列． (2)由(1)可知，an＝d(d＋1)n－1，从而bn＝nd2(d＋1)n－1 Sn＝d2[1＋2(d＋1)＋3(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－2＋n(d＋1)n－1]． 当d＝－1时，Sn＝d2＝1.当d≠－1时，式两边同乘d＋1得 (d＋1)Sn＝d2[(d＋1)＋2(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－1＋n(d＋1)n]． ①，式相减可得 －dSn＝d2[1＋(d＋1)＋(d＋1)2＋…＋(d＋1)n－1－n(d＋1)n] ＝d2. 化简即得Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1. 综上，Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1. 三　等比数列的性质及应用 【例3】已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(aR)，且，，成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)对nN*，试比较＋＋＋…＋与的大小． 解：(1)设等差