培优讲义(一类与n有关的不等式的证明方法).docVIP

一类与n有关的不等式的证明方法 方法总结： 数学归纳法：与自然数n有关的命题 放缩法：可结合数学归纳法寻找放缩方向 二项式定理：2n或3n与n的多项式函数式比较大小 构造函数法：令，或，或，或等，把不等式转化为关于x的函数问题。 5. 数列单调性法：把不等式转化为一个数列的项的最值问题，再考虑数列的单调性。 针对训练： 1.已知各项为正数的数列{an}前n项和Sn满足：Sn1，且6 Sn =( an +1)( an +2). （1）求an； （2）若，记. 求证： 2．数列{an}的前n项和Sn，且a 1=0，． （1）求an； （2）求证： 3.求证：对任意都有 链接高考： 1．（09山东20）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上. （Ⅰ）求r的值； （Ⅱ）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立 2．（08湖南18）数列 (Ⅰ)求并求数列的通项公式； (Ⅱ)设证明：当 3．（10四川22）设（且），是的反函数． （Ⅰ）设关于的方程在区间上有实数解，求的取值范围； （Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：； （Ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由． 针对训练 参考答案 1. 解：（1）∵6 Sn =( an +1)( an +2) ，∴6 Sn+1 =( an+1 +1)( an+1 +2) 相减，得：6 an+1 = an+12 - an 2+3 an+1- 3an，即( an+1 + an)( an+1- an-3)=0 ∵an+1 + an0 ∴an+1- an=3 ∴{an}是等差数列,公差为3. 由6 Sn =( an +1)( an +2), 得6 S1 =( a1 +1)( a1+2) 解得a1 =1或 a1=2 ∵Sn1 ∴a1=2， 故an =2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)知 ，∴ ∴原不等式等价于2 方法一：数学归纳法（略） 方法二：放缩法： ∵n≥1时， ∴ 或∴ ∴2，故原不等式成立。 方法三：数列的单调性法: 原不等式等价于 记，则 ，所以，为递增数列，； 故原不等式成立。 2. 解：(1) an 思路：由前几项归纳出an，由an的特点构造等差数列{} （2）要证的不等式等价于 证法一：数学归纳法 ①当n=1时，10 不等式成立; ②假设当n=k时,不等式成立,即 那么 ， 记 则，∴f(x)在(0,1]上为增函数, ∴f(x)f(0)=0 而，∴ ∴，即n=k+1时，不等式也成立； 根据①②可知，对任意自然数n都成立 故原不等式成立。 证法二：放缩法记 则， ∴f(x)在(0,1]上为增函数, ∴f(x)f(0)=0 而，∴ 即 ∴，故原不等式成立。 证法三：数列单调性要证的不等式等价于 记，则 下同法一二，可得，所以，为递增数列，； 故原不等式成立。 3. 证法一：二项式定理、放缩法：当k≥2时， ∴ 即原不等式成立。 证法二：构造函数法：原不等式等价于 设， 则 ∴ ∴f(x)在(0,1]上为减函数, ∴f(x)f(0)=0 而，∴，故原不等式成立。 三．链接高考： 3。（10四川）（Ⅲ） 综上，总有……………………………………（14分） 法二： ∵ ∴ （当且仅当n=1时取等号） 故 1解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上. 所以得,当时,, 当时,, 又因为{}为等比数列,所以,公比为, （2）当b=2时，, 则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立. 则当时,左边= 所以当时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 2.解 (Ⅰ)因为 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①-②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时， 于是当时， 综上所述，当时， 3．本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意，得故 由