3.3空间的平面和直线.pptVIP

§3.3空间的平面和直线 一、平面方程 二、 空间直线的方程 三、 与直线、平面有关的一些问题 四、小结 例27 已知一个平面平行于一个定平面π0：x+y+z+1=0，且相隔 单位的距离，求这平面的方程. 解 设这个平面π的方程为 x+y+z+D=0. 取π0上一点P0(0,0,-1)， 代入公式可得P0到π的距离为 因此所求平面的方程为x+y+z-2=0 或 x+y+z+4=0. 解得 D=1±3， 2. 平面束 有时用平面束的方程解题比较简便，现在我们来介绍它的方程. 设直线l由方程组 所确定， 通过定直线 的所有平面的全体称为平面束. 其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 易知，通过定直线l 的平面束方程为： 例28 求直线 在平面x+y+z=0上的投影直线方程. 解 设过直线 的平面束方程为： (x+y-z-1)+λ(x-y+z+1)=0， 即 (1+λ)x+(1-λ)y+(-1+λ)z+(-1+λ)=0 其中λ为特定常数. * * 一、平面方程 二、空间直线的方程 三、与直线、平面有关的一些问题 四、小结 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知法线向量 设平面上的任一点为 必有 1、平面的点法式方程 点 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形． 解 取 所求平面方程为 化简得 由平面的点法式方程 法向量 定理1 平面方程是三元一次方程，而三元一次方程必然表示一个平面. 2、平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 3. 两平面的夹角 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： 、 重合 垂直 平行 例4 一平面通过两点M1(1，1，1)和M2(0，1，-1)且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程. 解 设所求平面的一个法向量为n=(A,B,C)， 由-A-2C=0A+B+C=0可得A=-2C,B=C. M1M2=(-1,0,-2)在所求平面上， 与n垂直， M1M2 -A-2C=0. 又 所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0， 又有A+B+C=0， 将A=-2C,B=C代入上式，并约去C(C≠0)， 便得-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0， 就是所求的平面方程. 即2x-y-z=0 由平面的点法式方程可知， 所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0 定义 空间直线可看成两平面的交线． 空间直线的一般方程 1.空间直线的一般方程 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量． // 2.直线的对称式方程与参数方程 直线的对称式方程 令 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 直线的参数方程 （或点向式方程，有时也称为标准方程） ? 例23 用对称式方程及参数方程表示直线 解 在直线上任取一点 取 解得 点坐标 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 对称式方程 参数方程 定义 直线 直线 ^ 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 两直线的夹角公式 3、两直线的夹角 按两向量的夹角的余弦公式 ，直线L1和直线L2的夹角φ可由下式确定。 两直线的位置关系： // 直线 直线 例如， 或重合 解 直线l1的方向向量为s1=(1,-4,1)，直线l2的方向向量为s2=(2,-2,-1) ， 那么有 所以 例24 求直线 l1: 和直线 的夹角. l2: 设直线l1和l2的夹角为 ， 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． ^ 4、直线与平面的夹角 ^ 或 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： // 解 为所求夹角． 1. 距离 M S l d M0 (1) 点到直线的距离 设M0是直线l外一点，M是直线l上任一点，且直线的方向向量为S ，点M0到直线l的距离为d， 所以点M0到直线