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第64讲 三类特殊数列的解决方法
三类特殊数列的解决方法
讲座主要内容介绍：
一、隔项成等差、等比
二、等差数列与方程
三、周期数列
一、隔项成等差、等比
一、问题提出
*
问题1：已知数列 满足a a 2n1(nN )，求证：数列 为等差数列的充
an n n1 {a }n
要条件是a 11 .
问题2：已知正项数列 满足 2n1 * ，求证：数列 为等比数列的
a a 2 (nN )
an n n1 {a }n
充要条件是a 21 .
二、思考探究
探究1：已知数列{a }满足，a +a ＝4n－3(n∈N) ．*
n n+1 n
（1）若数列{a }是等差数列，求a 的值；
n 1
（2） a ＝2时，求数列{a }的前n项和S ；
1 n n
（3）若对任意n∈N ，都有* a a2 2 ≥20n－15成立，求a 的取值范围．
n n1 1
（1）若数列{a }是等差数列，则a ＝a+(n－1)d，a ＝a +nd．
n n 1 n+1 1
由a +a ＝4n－3，得(a+nd)+[a+(n－1)d] ＝4n－3，即2d＝4，2a －d＝4－3，
n+1 n 1 1 1
学大教育集团 1
XueEducationGroup
1
解得， ＝ ， ＝－ ．
d 2 a1
2
（2）由a +a ＝4n－3，得a +a ＝4n+1(n∈N)．*
n+1 n n+2 n+1
两式相减，得a －a ＝4．
n+2 n
所以数列{a }是首项为a ，公差为4 的等差数列[ ，
2n-1 1
数列{a }是首项为a ，公差为4 的等差数列，
2n 2
2n， n为奇数，
由a +a ＝1，a ＝2，得a ＝－1． 所以a ＝
2 1 1 2 n － ， 为偶数．
2n 5 n
① n为奇数时，则a ＝2n，a ＝2n－3．
n n+1
所以S ＝a+a+…+a ＝(a+a )+(a+a )+ …+(a +a )+a
n 1 2 n 1 2 3 4 n-2 n-1 n
2
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