国立嘉义女子高级中学100学年数学科甄选老师试题.DOCVIP

國立嘉義女子高級中學100學年度數學科(甄選老師)試題 姓名: 一、填充題：(60%每題10%) 1.同式樣之白棋3個、黑棋2個，任意排成一列，在不知道排列順序下，去猜黑白棋之排列順序，則猜對三個位置的機率為 。 2.兩拋物線y ( x2 ( 3x ( 2，y ( 2x2 ( 5x ( a（aR）相交於兩相異點P，Q若( 4，則a (？ 。 3.一袋中有1號卡片n張，2號卡片n ( 1張，…，k號卡片(n ( k ( 1)張，…，n號卡片1張，任意自袋中抽取1張卡片，試求其號碼的期望值= 。 4.想用每小時10浬的速度駕駛遊艇筆直前往北30(東方向上相距50浬的小島，現已知這附近一帶有北60(東方向速度4浬的潮流，問遊艇應朝何方向駕駛 。（sin11( 32( (） 5.若( (R，之最小值為m，最大值為M，則數對(m，M) ( 　　　　　。 6.正四面體的四頂點落在兩歪斜線L1：，t ( R與L2：，s ( R上，求此四面體的稜長 。 二、計算與証明題：(40%每題10%) 1.如下圖，正方形DEFG內接於直徑為的半圓，其中G，F在半圓弧上，D，E在上，且(，試證：(1)E為的黃金分割點 (5%) (2)△AFB為黃金三角形 (5%) 2.設數列( Fn (滿足F1 ( F2 ( 1，Fn(2 ( Fn ( Fn(1，nN，若x2 ( x ( 1 ( 0的兩根為(，(，其中( ( (，試證：Fn (([()n ( ()n]。 3.數列，，，…，，…，若表前n項之和，且 (1)求及S。 (5%) (2)求使成立的最小自然數n的值。(5%) 4.實數a，b，c滿足3(a2 ( b2) ( 4c2，c ( 0，(1)試證：直線ax ( by ( c ( 0與圓x2 ( y2 ( 1交於相異兩點P，Q。(5%) (2)求弦的長。(5%) 國立嘉義女子高級中學100學年度數學科(甄選老師)試題及答案 姓名: 一、填充題(60%) 1.同式樣之白棋3個、黑棋2個，任意排成一列，在不知道排列順序下，去猜黑白棋之排列順序，則猜對三個位置的機率為 。 【解答】 【詳解】(A) ( 10(B)全部猜錯的機率為0(C) 猜對一個位置的機率為 ((D)猜對二個位置的機率為0 2.兩拋物線y ( x2 ( 3x ( 2，y ( 2x2 ( 5x ( a（aR）相交於兩相異點P，Q若( 4，則a (？ 。 【解答】a ( 1 【詳解】(1) 2x2 ( 5x ( a ( x2 ( 3x ( 2有兩解　(　x2 ( 2x ( (a ( 2) ( 0有相異兩實根(　判別式 ( ( ( 2)2 ( 4(a ( 2) ( 0　　a ( 3(2) ( ( 2 ( (　　y ( ( x ( 4 ( a　(　：x ( y ( 4 ( a ( 0(3)設x2 ( 2x ( (a ( 2) ( 0兩根為(，(，則可令P((，(2 ( 3( ( 2)，Q((，(2 ( 3( ( 2)(　2 ( {}2 ( (( ( ()2[1 ( (( ( ( ( 3)2]因，故( (( ( ()2[1 ( (2 ( 3)2] ( 2(( ( ()2 ( 2[(( ( ()2 ( 4((]( 2[4 ( 4(a ( 2)] ( 24 ( 8a，24 ( 8a ( 16　　a ( 1 3.一袋中有1號卡片n張，2號卡片n ( 1張，…，k號卡片(n ( k ( 1)張，…，n號卡片1張，任意自袋中抽取1張卡片，試求其號碼的期望值= 。 【解答】 【詳解】所有卡片共有1 ( 2 ( 3 ( … ( n (張抽到卡片號碼為k號的機率為(∴　所求期望值(．(( ( ( ( 4.想用每小時10浬的速度駕駛遊艇筆直前往北30(東方向上相距50浬的小島，現已知這附近一帶有北60(東方向速度4浬的潮流，問遊艇應朝何方向駕 （sin11( 32( (） 【解答】18(28( 【詳解】 如上圖，設A為出發點，B為小島，潮流方向為又設遊艇船頭朝北θ東方向航行，亦即船頭沿著方向行駛遊艇因受潮流影響實際上遊艇是沿著方向往終點站B小島前進由外角關係得：∠ABC ( 30(，∠BAC ( 30(( θ若遊艇由A至C要t小時，則 ( 10t， ( 4t在△ABC中，由正