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§3　关于同频简谐量的迭加 在物理学中，凡是与时间t的关系是余弦（或正弦）的函数物理量，如交变电流，简谐振动中的位移，称为简谐量。角频率相同的几个简谐量叫同频简谐量。求几个同频简谐量的和称为同频简谐量的迭加。 解决同频简谐量的迭加问题，诚然可用三角函数的方法，但比较繁复，特别是遇到两个以上的简谐量的迭加时，运算尤其冗长，比较简便的方法有两种――旋转矢量法和复数法。 1．旋转矢量法 （1）简谐量和旋转矢量的关系： 设有简谐量：[或］ 取顶点O和一水平基线OX，从原点O引矢量（见图5－29），令它的长度等于简谐量的峰值（或幅值）A，与水平轴线OX的夹角（称为幅角，以X轴沿反时针方向旋转为正）等于简谐量的初相，并以简谐量的角速度ω旋转，显见，此旋转矢量在X轴上的投影（或Y轴的投影）便等于简谐量的瞬时值。 因此，简谐量本身虽不是矢量，但它有大小和位相两个相关联的部分，而矢量也有大小和方向这两部分，因此我们可借助于旋转矢量来表示简谐量。 应当注意旋转矢量不同于一般的空间矢量，它的位置与时间有关，因而可以认为是时间矢量。 （2）旋转矢量法： 若有两个同频简谐量： 　　　　　　 求它们的和： 先作出表示简谐量和的旋转矢量；然后用平行四边形法则作出合矢量，（见图5－30）。 因为和的角速度同为ω，在任意时刻t它们都从各自的位置转过同一角度ωt，故以它们为禽接边所作平等四边形的对角线，即合矢量也必然跟随和一起转过同一角度ωt，并且在转动中，、、的长度不变。设时刻t各矢量所在的位置如图5－31所示，从图中可以看出 上式表明：两个同频率的简谐量的合成仍然是一个同频率的简谐量，合成简谐量的峰值等于合成矢量的长度A，它的位相等于合成矢量的幅角，它的初相等于合成矢量的初始时刻（t=0)的幅角，这样，两个同频简谐量的迭加问题就转化为两个同频旋转矢量的合成运算。 因为各矢量的旋转的角速度ω相同　，在旋转过程中它们相对静止的，所以为了求得合成简谐量，实际上并不需要将矢量旋转，也不必算出角频率ω，只要作出、、在t=0时刻的初始位置图。 综上所述，利用旋转矢量进行两个同频率简谐量的迭加时，主要步骤是： A、取原点O和一水平基线OX，从原点O引两个表示简谐量的矢量，使它们的长度分别等于两个简谐量的矢量的的峰值（或幅值），幅角分别等于两个简谐量的初相。 B、近平行四边形法则，求出合矢量，则合矢量的长度A即为合成简谐量的峰值（或幅值），的幅角为合成简谐量的初相，如图5－32所示。 　　　 例5－11设有两个各自独立的简谐振动在同一直线上进行，它们的角频率相同，振动方程是： 求合振动的振幅、初相和振动方程。 解：取一条直线代表X轴原点O代表平衡位置，作对应矢量的初始位置图（图5－33）则 合振动的初相ф＝43030/ 合振动的振动方程： 例5－12有两个同方向，同周期的谐振动，其合成的振幅为20cm，初相与第一振动的初相差300，若第一振动的振幅为17.3cm，求第二振动的振幅及第一、第二振动的初相差。 解：依题意作对应的初始位置图（图5－34），在△BOC中 ∠BOC=ф－ф1＝300，OC＝20cm，OB＝17.3cm.。 即：　…　（1） 但 代入（1）式得：　　　　　　 所以，第二振幅是10cm，第一、第二振动的初相差为900。 例5－13有两具频率相同的正弦交流电： 求总电流的最大值，有效值和瞬时值的函数式。 解：取水平基线OX和原点O，作表示的矢量，和的初始位置图。并令，，，，如图5－35所示，将反向延长，作矢量－。 因为： 根据平行四边形法则，求得矢量。 由图可以看出与垂直，所以的大小为： 幅角 有效值： 瞬时值的函数式： 2．复数法 复数法又叫符号法，用它来表示简谐量比旋转矢量法更简单，只需用一个符号来表示就行了，复数的符号是在字母上打上“·”或加上“~”。 前面已讲过，简谐量可以用旋转矢量来表示，而矢量又可用复数表示，，所以简谐量也可用复数表示。 旋转矢量、简谐量和复数对应关系是： 　　简谐量　　　　　　　　　　　旋转矢量　　　　　　　　　复数 峰值A　　　　　　　　　　　　长度A　　　　　　　　　　模A 　　　　初相ф t=0时的矢量与水平基线的夹角ф t=0时的幅角ф 　　位相（ωt+ф) t时刻矢量与水平基线的夹角（ωt+ф) 幅角（ωt+ф) 瞬时值A（t）　　　　　旋转矢量在X轴上的投影 　复数的实部 　　　　　　　　　　　　（或旋转矢量在Y轴上的投影） 　（或虚部） 显然， 无论是旋转矢量，还是复数，它们都不是简谐量的本身，而只是具有