2013年中考数学复习专题讲座十三动点型问题(三)(含答案).docVIP

2012年中考数学复习专题讲座十三 动点型问题一、专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、考点精讲 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。（2012?义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 思路分析： （1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度； （2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立； （3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式（），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题． 另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度． 解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得； ∵6=3k， ∴k=2， ∴y=2x．（2分） OA=．…（3分） （2）是一个定值，理由如下： 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 此时； ②当QH与QM不重合时， ∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上， ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…（5分）， ∴， 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得． …（7分）①① （3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴 ∵∠AOD=∠BAE， ∴AF=OF， ∴OC=AC=OA= ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC， ∴， ∴OF=， ∴点F（，0）， 设点B（x，）， 过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF， ∴， 即， 解得x1=6，x2=3（舍去）， ∴点B（6，2）， ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4， ∴AB=5 …（8分）； （求AB也可采用下面的方法） 设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得 k=，b=10， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴B（6，2）， ∴AB=5…（8分） （其它方法求出AB的长酌情给分） 在△ABE与△OED中 ∵∠BAE=∠BED， ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB， ∴∠ABE=∠DEO， ∵∠BAE=∠EOD， ∴△ABE∽△OED．…（9分） 设OE=x，则AE=﹣x （）， 由△ABE∽△O