MIT线性代数导论笔记.pdfVIP

第一课时：方程组的几何解释 一、线性方程组的两种理解方式：行图像和列图像 对于方程组： 我们可以表示成矩阵形式： 系数矩阵A，未知数向量x，右侧向量为b，则可写成Ax=b 1）行图像的理解方式：试图将每一个完整方程所表示的图像表示出来。 交点即方程的解为（1,2）。 2）列图像的理解方式：关注矩阵的列所表示的向量，把两个方程组放在一起考虑： 这样做的目的是找到两个列向量的正确的线性组合为右侧向量 ，现在需要求x,y这两个数值，来制造向量 (0,3)，其几何形式，图像如下 选取所有的x和y，即所有的线性组合即为整个坐标平面。可以求出右侧任意的b向量。 1 考虑扩展至三维空间， 在行图像中，一个含有3个未知数的方程组在三维空间中确定一个平面，两个方程组确定一条直线，三个 方程组确定一个点，这个点就是方程组的解，当然前提是这三个方程组所确定的平面两两不平行。在列图 像中，可类似二维中作出三个列向量的几何图像并求得线性组合。 扩展至n维，可以此类推。 二、方程组解的情况 对于上面3维空间的例子， 保证左侧矩阵不变，然后考虑所有右侧向量，任意b，是否每个b都有对应解？ 换种说法：列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？ 非奇异矩阵，可逆矩阵可以做到。 如果是奇异矩阵，即不可逆矩阵，在行图像中看即至少有两个方程组所表示的平面是平行的，在列图像中 看即至少有两个列向量是指向同一方向的 （即不相互独立，相当于同一个向量），此时，只有b处在这个 向量和另一个非共线向量所表示的平面内时，方程组才有解。 三、矩阵与向量相乘的方法 1）将矩阵A与向量x 的相乘，看着A各列的线性组合，这是极力推荐的。 矩阵乘以右侧列向量可看成矩阵各列向量的线性组合，结果为列向量 左侧行向量乘以矩阵可看成矩阵各行向量的线性组合，结果为行向量 2）原始点乘方式。 2 第二课时：矩阵消元 本课时的目标是用矩阵变换描述消元法。核心概念是矩阵变换。 一、消元法 消元法：将主对角线上的主元固定（0不能做主元），把主元下面的元素消为0。过程：先完成左侧矩阵 的消元 （变成上三角矩阵），再回代运算右侧向量，最后即可求出解完成整个消元过程。（matlab也是先 计算左侧矩阵，再回头计算右侧向量的） 左侧矩阵的消元过程：U矩阵是A矩阵的最终消元结果 右侧向量回代过程：A 中加入b列向量变成增广矩阵，增广就是增加的意思，增加了新列，左侧矩阵消元 时，右侧向量也会跟着变化。c 向量是b向量的最终结果 求解：将U和c代入原式子可得解 消元法失效的情况（指不能得到三个主元）：当主元上为0时，就通过交换行将主元位置变为非0，当通 过交换行还不能解决0主元的时候，消元法就失效了。（不能解决0主元的矩阵是不可逆矩阵） 二、引入矩阵描述这些（消元步骤的）变化（消元矩阵），用矩阵语言描述整个消元过程。 3 回忆下我们应该怎样看待矩阵乘法： 矩阵乘以列向量是矩阵列的线性组合，结果为列向量；行向量乘以矩阵式矩阵行的线性组合，结果为行向 量。 下面用消元矩阵来对矩阵进行消元，注意变换过程我们应该始终用线性组合的方式进行思考。同时注意到： 单位矩阵是一个不会对任何矩阵有任何变换作用的矩阵。 第一步消元：我们要对中间的矩阵进行消元，得到右侧矩阵，第一步为row2=row2-3*row1。依次考虑左 侧矩阵的行，第一行与中间矩阵的各个行向量进行线性组合，右侧矩阵的第一个行向量就是这个线性组合 的结果，可观察容易得出左侧消元矩阵第一行为（100）。其实只需要由变换（row2=row2-3*row1）可 得，消元矩阵中只有第二行有不同于单位矩阵的数值，即（-3 10）。 第二步消元： 以上每一步消元都使用到一个初等矩阵进行变换，我们将这些初等矩阵变换步骤综合起来 （为什么综合起 来？原因之一是更节省空间），即 有什么矩阵可以一次性完成E32和E21的消元任务呢？可以用结合律将E32和E21乘起来得到，但我们 不这样做。 更好的方法：不是关于A怎么变换成U，而是U如何变成A，逆变换。下一课时将详细讲解。 逆矩阵，右侧消元矩阵表示的变换是row2减去3倍row1，将右侧向量从 （2122）变成 （262）。现在 需要将（262）通过找到某矩阵取消这次消元，减去多