随机变量及其分布第2讲.pptVIP

* 练习：如X ~N (m,s2),如图1所示 O x f(x) 图2 图3 图1 * m x O f(x) 图3 图1 图2 练习：如X ~N (m,s2),如图1所示 则：X 3 ~N (m,3s2)的图像约为（图2，图3中选择一个）： * 由(4.10)式得X 的分布函数为 1 F(x) 0.5 x O m * 练习：标准正态分布指的是：m=____, s =____时的正态分布. 其概率密度函数的表达式为：__________，通常简写为___________;其分布函数的表达式为：___________，通常简写为____________. * 特别, 当m=0, s = 1时称X 服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用j (x)和F (x)表示, 即有 易知 F (-x )=1-F(x) (4.15) (上式很常用) 人们已经编制了F(x)的函数表, 可供查用(见附表2,P382). 要懂得自己查表哦！ 如： F (0 )=？，F(0.3)=？ F (-0.5 )=？ F(9)=？ F(-8)=？ * 证 由此知Z~N(0,1). 此证明作了解即可， 但是结论很重要 * 若X ~N (m, s2 ), 则它的分布函数F (x )可写成: 则对于任意区间(x1,x2], 有 * 例如，设X~N(1,4)，查表得 练习：设X~N (2,4)，求P{1X6} 关键：普通标准正态分布懂得向标准正态分布靠拢， 以及F(-x)=1-F(x) * 设X~N (m,s2), 由F (x) 的函数表还能得到:P { m -s X m +s }=F (1)-F (-1) =2F (1)-1 = 68.26%P {m-2s X m+2s }=F (2)-F (-2)=95.44%P {m-3s X m+3s }=F (3)-F (-3)=99.74%我们看到, 尽管正态变量的取值范围是(-?,?), 但它的值落在(m-3s,m+3s)内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的3s法则. * m-3s m-2s m-s m+s m+2s m+3s 68.26% 95.44% 99.74% * 例3 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d°C，液体的温度X (以°C计)是一个随机变量， 且X~N (d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d 至少为多少?解 (1)所求概率为 * (2) 按题意需求d 满足 * 设X~N(0,1), 若 z a 满足条件 P {X z a }=a, 0a1, (4.18)则称点 z a 为标准正态分布的上a 分位点.由 j (x) 的对称性知 z1-a= -z a a 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 za 3.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282 za a * 作业 第二章习题 第57页开始 第20,24 题 补充题 某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分.考试后得知,考试总平均成绩,即u=166分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,问他能否被录取?能否被聘为正式工? * §5 随机变量的函数的分布 * 在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数 Y=g (X), (g (?)是已知的连续函数)的概率分布. * 例1 设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律. 解 Y所有可能值为0,1,4, 由 P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2, X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2 * 例2 设随机变量X具有概率密度 求变量Y=2X+8的概率密度. 解 分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y). 下面先来求FY(y). * 将FY(y)关于y求导数, 得Y=2X+8的概率密度为 * 例3 设随机变量X具有概率密度 fX (x ), -?x?,