概率论及与数理统计连续型随机变量函数的密度函数.pptVIP

* 第三节 连续型随机变量函数的密度函数 复习:变限积分的求导公式 若a为常数,则 若b为常数? 根据分布函数 的定义 一.一维随机变量函数的密度函数 目标:设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数(分段严格单调)，求随机变量Y=g(X)的密度函数 . 基本方法(分布函数求导法),分2个步骤: (1) 求Y的分布函数 (2) 对 求导， 1. 是严格单调且可导的函数. 1). 定理3.1. 设 而 是严格单调且且处处可导的, 设 是g的反函数,则 是连续型随机变量,其密度函数为 其中 其实就是变限积分求导 证明 推论. 如果Y=aX+b,则Y 的密度函数为 特别的, 对于正态分布 , 设 我们有 更一般的, 则 解 先求分布函数 FY (y)。 设随机变量X服从正态分布 求 的概率密度。 当 时， 所以， 请同学自己用分布函数求导法证明! 当 时， 所以， 解 体积 的分布函数为 例 设球的半径X的概率密度为 试求体积的概率密度。 所以体积的 概率密度为 严格单调递增函数 所以体积的 概率密度为 即 代入f(x). 练习 设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。 答案： 例题1,… 此类问题的基本做法:先确定Y的取值范围,其密度函数在此范围外的取值为零,对此范围内用公式法或者分布函数求导法,最后写出函数. 以下练习: 练习题: 定理3.2 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为f X (x), fY (y), 当g(x)在不相重叠的区间 I1， I2，…,Ik上是严格单调函数且可导，则 其中 为 在Ii上的反函数 2.分段严格单调可导函数 最好不要套用定理,还是由”分布函数求导法”来求解! 例 设X ~ N（0，1），其概率密度为： 则 概率密度函数为： 此时称Y 服从自由度为1的 -分布,记作 结论：若 ,则 解 因此对于 首先注意到 则 有 对 不是单调的，但却是分段单调的。 是单调下降的， 是单调上升的， 1).公式法 (自己看) 2).分布函数求导法: 因此对 首先 当 时, 有 对其求导, 所以, 若 结果怎样? 例3.15(3). 设X的密度函数 求 的密度函数. 解. 因为 所以只要考虑 当 时, 求导, 得 当 时, 求导, 得 故 解题步骤: 设 是二维连续型随机变量,其联合分布密度为 则 是一维的连续型随机变量????? 其分布函数为 是二元连续函数， 其分布密度函数为 二.多维随机变量函数的密度函数 基本步骤(分布函数求导法) 1).如果(X, Y)的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为 或 特别地，当X, Y 相互独立时，有卷积公式 或 1.和的分布 证明. 设(X,Y)的密度函数为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为 所以, 对z求导, 令 对f(x,y)沿着x+y=z积分 对于相互独立的X,Y, 则 例3.16 如果X与Y相互独立 记住结论,证明过程感兴趣自己看. 进一步, 例3.17 如果 在小于0上取0值,则积分都是类似的,卷积的积分限限制到(0, z). 当 时, 解 当 时, 所以 练习题. X,Y相互独立,且都服从参数为 的指数分布, 求Z=X+Y的密度函数.