格林公及式的应用.pptVIP

§9.7 格林公式及其应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 单连通与复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时? 如果左手在区域D内? 则行走方向是L的正向? 单连通区域 复连通区域 设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域? 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有 其中L是D的取正向的边界曲线? ——格林公式 应注意的问题: 对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向? 提示? 格林公式: 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L? 则 在格林公式中? 令P??y? Q?x? 则有 格林公式: 用格林公式计算区域的面积 例1 求椭圆x?acosq? y?bsinq 所围成图形的面积A? 设区域D的边界曲线为L? 则 解 设L是由椭圆曲线? 则 提示: 因此, 由格林公式有 格林公式: 用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域? 解 因此, 由格林公式有 格林公式: 用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域? 解 用格林公式求闭曲线积分 令P?2xy? Q?x2? 则 证 因此? 由格林公式有 格林公式: 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明 提示? 解 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D? 当x2?y2?0时? 有 在D内取一圆周l? x2?y2?r2(r0)? 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 当(0? 0)?D时? 解 记L所围成的闭区域为D? 记L及l所围成的复连通区域为D1? 应用格林公式得 其中l的方向取顺时针方向? 于是 曲线积分与路径无关 设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G内具有一阶 连续偏导数? 与路径无关? 否则说与路径有关? 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2? 等式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 这是因为? 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线? 则L1?(L2-)是G内一条任意的闭曲线? 而且有 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) 定理证明 应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域? (2)函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立? 讨论? 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线? L的方向为逆时针方向? 问 是否一定成立？ 提示? 解 这里P?2xy? Q?x2? 选择从O(0? 0)到A(1? 0)再到B(1? 1)的折线作为积分路线? 物线y?x2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? 表达式P(x? y)dx?Q(x? y)dy与函数的全微分有相同的结构?但它未必就是某个函数的全微分? 那么在什么条件下表达式P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某个二元函数u(x? y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时? 怎样求出这个二元函数呢？ 二元函数u(x? y)的全微分为 du(x? y)=ux(x? y)dx?uy(x? y)dy?