线性代数与 3-1 .pptVIP

二、矩阵的初等变换 小结 三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用 小结 思考题 思考题解答 思考题 思考题解答  作业 习题三 1（3）  2，4（2）， 5，6 性质1 设 A 是一个 mxn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 性质2 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 推论 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A ~ E。 即可逆矩阵的标准形是单位阵。实际上可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵。 利用初等变换求逆阵的方法： 解 例１ 即 初等行变换 例２ 解 列变换 行变换 即可求得 Y 。 例3 解 注：所求的P不惟一 解 例4 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: 解 A 可以看成是由 3 阶单位矩阵 E 经 4 次 初等变换: 而得。 而这 4 次初等变换所对应的初等方阵为: 由初等方阵的性质得 已知四元齐次方程组 及 另一四元齐次方程组 的通解为 解 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并提出求秩的有效方法。再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法，内容丰富。 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用 引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 解 用“回代”的方法求出解： 于是解得 （2） 归纳： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换: （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． （以 　　　替换　 ） （以　　　　 替换　 ） （　 与　 相互替换） 3．上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B ( 方程组（1）的增广矩阵 ) 的变换。 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换 ( 所用记号是把 “r” 换成 “c” )． 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 用矩阵的初等行变换 解方程组（1）： 所谓行阶梯形矩阵，是指满足下列两个条件的矩阵： （1）如果存在零行（即元素全为零的行），则所有的零行都位于非零行（即元素不全为零的行）的下方； （2）各个非零行首非零元（即第一个非零元素）的列标随着行标的递增而严格增大。 例如，矩阵 是行阶梯形矩阵。 行阶梯形矩阵的特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶只有一行。 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 例如，矩阵 都不是行阶梯形矩阵。 如果行阶梯形矩阵，又满足下列两个条件： （1）所有首非零元素都是 1； （2）所有首非零元素所在列的其余元素都是 0。 则称其为行最简形矩阵。 例如，矩阵 是行最简形矩阵。 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 对于任何矩阵 Amxn 总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 例如， 特点： 所有与矩阵 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等