线代课件与§7 正定二次型 .pptVIP

§7 正定二次型 一、惯性定理 二、正定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 四、小结 思考题 思考题解答 一、惯性定理 二、正定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 　　下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质． 为正定二次型 为负定二次型 例如 证明 充分性 故 必要性 故 推论　对称矩阵 A 为正定的充要条件是： A 的 特征值全为正． 定理11(霍尔维茨定理) 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正，即 对称矩阵 A 为负定的充要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 正定矩阵具有以下一些简单性质 例1 判别二次型 是否正定. 解 它的顺序主子式 故 f 是正定二次型 . 例2 判别二次型 是否正定. 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法. 故此二次型为正定二次型. 即知 是正定矩阵， 例3 判别二次型 的正定性. 解 例4 解 为半正定二次型 为不定二次型 例如 2.　正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法. 　　1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系． 　　3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．