第二节 与数量积 向量积 混合积 .pptVIP

导数与微分 第二节 一、两向量的数量积 3. 运算律 例1. 证明三角形余弦定理 4. 数量积的坐标表示 例2. 已知三点 例3. 设均匀流速为 二、两向量的向量积 1. 定义 2. 性质 4. 向量积的坐标表示式 向量积的行列式计算法 例4. 已知三点 例5. 设刚体以等角速度 ? 绕 l 轴旋转, *三、向量的混合积 2. 混合积的坐标表示 3. 性质 例6. 已知一四面体的顶点 例7. 证明四点 内容小结 混合积: 思考与练习 证: 由三角形面积公式 * *三、向量的混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八章 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量 的夹角为? , 称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ? (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 证: 则 如图 . 设 设 则 当 为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 ? AMB . 解: 则 求 故 为 ? ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量 解: 单位时间内流过的体积 的夹角为 且 为单位向量 当二阶行列式 二元线性方程组： Supplement（二阶、三阶行列式） 时，该方程组有唯一解. 行 列 当三阶行列式 时，该方程组有唯一解. o o o o 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝ 为非零向量, 则 ∥ ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: (1) 反交换律 设 则 ( 行列式计算见 P339～P342 ) 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 一点 M 的线速度 导出刚体上 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使 其 在 l 上任取一点 O, 作 它与 则 点 M离开转轴的距离 且 符合右手法则 的夹角为? , 方向与旋转方向符合右手法则 , 向径 1. 定义 已知三向量 称数量 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 设 (1) 三个非零向量 共面的充要条件是 (2) 轮换对称性 : (可用三阶行列式推出) 4 ) , 求该四面体体积 . 解: 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故 共面 . 解: 因 故 A , B , C , D 四点共面 . 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积: 2. 向量关系: 1. 设 计算 并求 夹角? 的正弦与余弦 . 答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: 所以 因 备用题 1. 已知向量 的夹角 且 解： 在顶点为 三角形中, 求 AC 边上的高 BD . 解： 三角形 ABC 的面积为 2. 而 故有 引理 c a 将矢量a一投一转（转900）， 证明 ? 引入? 证毕 (a+b)?c=(a ? c)+(b ? c) c0 3. 证明矢量积的分配律: 两矢方向: 一致； a2 |a2|= |a1| a2 得a2 (a+b)?c=(a ? c)+(b ? c) c b a a+b (a+b)?c a?c 由矢量和的平行四边形法则， 得证 c0 3. 证明矢量积的分配律: . . b?c 将平行四边形一投一转 (a+b)?c=(a ? c)+(b ? c) b c a ? b a S=|a ? b| ? h 4. 混合积的几何意义 * *