第七讲 与二次型 .pptVIP

第七讲 二次型 二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题。现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支及物理、力学、工程技术中也常常用到。 * * 知识脉络图解 二次型的定义 二次型的矩阵表示 合同矩阵 正定二次型与正定矩阵 用可逆线性变换化二次型为标准型 实对称矩阵合同于对角矩阵 配方法 配方法 初等变换法 顺序主子式法 实对称矩阵正交 相似于对角矩阵 用正交变换化 实二次型为标准型 特征值法 重点、难点解读 本章通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来，从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究，另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决，故正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础，应熟练掌握。 本章重点之一是化二次型为标准型或对称矩阵合同于对角矩阵。应掌握配方法、初等变换法和正交变换法化二次型为标准型，尤其是用正交变换法化二次型为标准型更应熟练掌握。 正定二次型与正定矩阵的判定与证明是本章的另一个重点。对具体的实二次型或实对称矩阵，一般用全部顺序主子式大于零的充分必要条件来判定；而对于抽象的实二次型或实对称矩阵，往往采用定义及特征值等判定其正定性。 一、二次型的基本概念 形如 称 为标准形。 称为数域 上的一个 元二次型。 的秩称为 的秩。 称 为规范形。 其中 及 ，分别称为 的正惯性 指数和负惯性指数，两者之差 称为 的符号差。 例1 设 为 阶实对称矩阵， 是 中元素 的代数余子式，二次型 （1）记 ，把 写成矩阵形式，并证明二次型 的矩阵为 。 （2）二次型 与 的规范形是否相同？说明理由。 解 （1）二次型 的矩阵形式为 因为 ，故 可逆，且 ，由 的对称 知 。 故 也是实对称矩阵，因此二次型 的矩阵为 。 （2）因为 ，所以 与 合同。 于是 与 有相同的规范形。 二、用可逆线性变换化二次型为标准形 1、线性变换的概念 关系式 称为由 到 的一个线性变换。 用矩阵形式可写为 其中 当 时，称线性变换是可逆的（或满秩的）。 2、用可逆的线性变换化简二次型的结论 （1）数域F 上的秩为 的任意二次型 都可经过F 上的可逆线性变换 化成标准形 其中 中有 个元素非零。 （2）秩为 的实二次型 都可经过实的可逆线性变换 化为唯一的规范形 3、用可逆线性变换化二次型为标准形的方法 方法1 配方法 用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项，并构造新平方项。 方法2 初等变换法 用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下： 第一步：写出二次型的矩阵 ，并构造 矩阵 第二步：进行初等变换 第三步：可逆线性变换 化二次型为标准形 例1 化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换： 解 （1）方法1 用配方法 令 即 方法2 用初等变换法 二次型 的矩阵为 。由于 故可逆线性变换为 ………… ……