离散数学与(代数结构) .ppt

* §6.2 整环、除环和域 (4) 6.2.3 除环、域 设 A,?,* 是一个含幺环，其单位元是e’，如果A-{e}??，并且 A-{e},*是一个群，则称它为除环，可交换的除环是域。即A-{e},*是一个Abel群 * §6.1 定义及基本性质 (1) 除环 假设 A,?,* 是一个代数系统，其中，? 和 * 都是集合 A 上的二元运算，如果满足： （1）A,? 是交换群（Abel群）； （2）A-{e}, ? 是群； （3） * 对? 是可分配的； 则称 A,?,* 是一个除环。 * §6.1 定义及基本性质 (1) 域 假设 A,?,* 是一个代数系统，其中，? 和 * 都是集合 A 上的二元运算，如果满足： （1）A,? 是交换群（Abel群）； （2）A-{e}, ? 也是交换群（Abel群） ； （3） * 对? 是可分配的； 则称 A,?,* 是一个域。 * §6.2 整环、除环和域 (5) 6.2.3 除环、域 域一定是整环，但整环不一定是域。 有限整环必为域。 假设 A,?,*是一个无零因子的有限环，并且|A| ? 2，则A,?,* 一定是除环。 尼尔斯·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧师，母亲安妮是一个非常美丽的女人，她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。 在这世界最繁华的大都会里，?荟萃着像柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒让得、拉普拉斯P.S.LapLace，1749－1827）、傅立叶（I.Fourier，1768－1830）、泊松（S.D.Poisson，1781－1840）这样一些久负盛名的数字巨擘，阿贝尔相信他将在那里将找到知音。 * §5.6 陪集 (8) 5.6.3 左商集和右商集 定义： 设 H,* 是群 G,* 的子群，SL的基数称为 H 在G 内的指数。记为：[G:H]=|SL|。 * §5.6 陪集 (9) 5.6.3 左商集和右商集 定理： 设 H,* 是群 G,* 的子群，H 的任意左陪集（右陪集）与 H 等势。 * §5.6 陪集 (10) 5.6.4 Lagrange 定理 定理： 假设 G,* 是有限群，H,* 是 G, * 的子群，则 H 的阶必整除 G 的阶，并且 |G|=[G:H]|H|。 n阶群的子群的阶一定是 n的因子。 * §5.6 陪集 (11) 5.6.4 Lagrange 定理 （1）任何素数阶的群不可能有非平凡的子群。 （2）素数阶的群必为循环群 。 （3）假设G,*是 n 阶有限群，则对 ?a?G,|a|| n （形象表示？？）。 （4）假设G,*是 n 阶有限群，则对 ?a?G,an = e。 * §5.7 正规子群 (1) 5.7.1 正规子群的定义 设 H,* 是群 G,* 的子群，如果对 ?a?G 有 aH = Ha，则称 H,* 是G,* 的正规子群（不变子群）。 * §5.7 正规子群 (2) 例：假设 S={1,2,3},S3={f1,f2,..,f6} * §5.7 正规子群 (3) {f1}, ? ,{f1,f2},?,{f1,f3},?,{f1,f4},?, {f1,f5,f6},?,S3, ? 是三次置换群，是三次对称群的子群，是否为正规子群？ * §5.7 正规子群 (3) H1={f1},?a?S3 是否都有 aH1 = H1a f1{f1,f2}={f1,f2}=f2{f1,f2}, {f1,f2}f1={f1,f2}={f1,f2}f2 f3{f1,f2}={f3,f5}=f5{f1,f2}, {f1,f2}f3={f3,f6}={f1,f2}f6 f4{f1,f2}={f4,f6}=f6{f1,f2}, {f1,f2}f4={f4,f5}={f1,f2}f5 * §5.7