清华离散与数学(第2版)：5.1-2 .pptVIP

第5章 函数 第5章 函数 5.1 函数定义及其性质 5.2 函数的复合与反函数 5.1 函数定义及其性质 5.1.1 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 5.1.2 函数的像与完全原像 5.1.3 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数 函数定义 函数相等 从A到B的函数 B上A 实例 重要函数的定义 重要函数的定义(续) 重要函数的定义(续) 实例 重要函数的定义(续) W : Z+?Z+作为算法的时间复杂度函数 W(n)的含义：对于规模为 n 的输入，该算法在最坏情况 下所执行的基本运算次数是W(n). 复杂度函数 f(n) 的阶的表示： f(n)=O(g(n)) ? f(n)的阶不超过g(n)的阶 f(n)=?(g(n)) ? f(n)=O(g(n))且g(n)=O(f(n)) 例如: f(n)=n2+n=?(n2), g(n)=nlogn=O(n2) 其中 logn 是 log2n 的简写 算法：二分有哪些信誉好的足球投注网站 W(n)=O(logn) 归并排序 W(n)=O(nlogn) 函数的像与完全原像 实例 1. 设 f : N→N, 且 令A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) = f({0,1}) = { f(0), f(1) }={ 0, 2 } f(B) = { f(2) } = { 1 } 2. A={1, 2, 3}, B={a, b, c}, f={1,a,2,a,3,b}，则 f?1({a,b}) ={1,2,3}, f?1({b,c}) ={3}, 函数的性质 实例 实例(续) 构造从A到B的双射函数 构造从A到B的双射函数(续) 构造从A到B的双射函数(续) 5.2 函数的复合与反函数 5.2.1 函数的复合 函数复合的基本定理及其推论 函数复合的性质 5.2.2 反函数 反函数存在的条件 反函数的性质 函数复合的基本定理 证明 再证明结论 (1) 和 (2) . 任取x, x∈dom(f °g) ? ?t ?y (x,t∈f∧t,y∈g) ? ?t (x∈domf ∧ t=f(x) ∧ t∈domg) ? x∈{ x | x∈domf ∧ f(x)∈domg } 任取x,  x∈domf ∧ f(x)∈domg ? x, f(x)∈f ∧f(x), g(f(x))∈g ? x, g(f(x))∈f°g ? x∈dom(f°g)∧f°g(x)＝g(f(x)) 所以(1) 和 (2) 得证. 推论 推论1 设f, g, h为函数, 则(f°g)°h 和 f°(g°h)都是函数, 且 (f°g)°h = f°(g°h) 证 由上述定理和关系合成运算的可结合性得证. 推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f°g : A→C, 且?x∈A都有 f°g(x) = g(f(x)). 证 由上述定理知 f°g是函数, 且 dom(f°g) = { x | x∈domf ∧ f(x)∈domg}  ={ x | x∈A ∧ f(x)∈B} = A ran(f°g) ? rang ?C 因此 f°g : A→C, 且?x∈A 有 f°g(x) = g(f(x)). 函数复合的性质 定理5.2 设 f : A→B, g : B→C.? (1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f°g : A→C也是满射的.? (2) 如果 f : A→B, g : B→C都是单射的, 则 f°g : A→C也是单射的.? (3) 如果 f : A→B, g : B→C都是双射的, 则 f°g : A→C也是双射的.? 证明 (1) 任取 c∈C, 由g : B→C的满射性, ?b∈B 使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f : A→B 的满射性，?a∈A 使得 f(a)=b. 由 定理5.1 有 f°g(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了f°g : A→C是满射的. (2) 假设存在 x1, x2∈A使得 f°g(x1) = f°g(x2) 由合成定理有 g(f(x1))=g(f(x2)) 因为 g : B→C是单射的, 故 f(x1) = f(x2).