概率论基与础ch1.5 .pptVIP

数科院 测度论的发展： 事件的运算与集合的运算完全相似 概率和测度有相同性质 19世纪末，数学各分支的公理化潮流 定义在事件域F上的一个集函数P称为概率，如 果它满足如下三个条件： （1）非负性：P(A) （2）规范性：P(W)=1; （3）可列可加性： 例5（匹配问题） 某人写好n封信，又写好n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。 解：记Ai={第i封信与信封符合}，则所求事件为 若P 是F上满足P(W)=1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是 (i) 它是有限可加的 (ii)它是下连续的 证明：充分性：由前面的推导可得 必要性: (i)有限可加性很容易证明 (ii)证下连续性,即证明对任意F中的 一个单调不减的集序列{Sn}，都有 系1 概率是下连续的 例6 （有限概率空间） W: n个样本点（有限个样本点） F: W中所有子集的全体（有限个集合，2n） 这样，每个样本点wi 本身是事件 P：只要对样本点wi给定P(wi),满足 总结： 例8 离散概率空间 W: 可列个样本点{w1，w2,…} F: W中所有子集的全体。这样，每个样本点 wi本身是事件 P：选可列个非负数Pi, i=1,2,…满足 作为样本点wi的概率。 这时，事件A的概率就取A所包含的样本点概率之和。 例9 （Borel s代数） W=R1：即样本空间由全体实数构成 F: 直线上Borel点集全体 P：对左闭右开区间定义概率 例10 （n维Borel代数） W=Rn F: n维欧几里德空间中Borel点集全体Bn P：见Chapter 3 分析： 柯尔莫哥洛夫的概率公理化结构 样本空间? 事件域F 概率测度P 全空间（全集） s域 测度(集函数) 具体讨论问题时，假定（W ,F, P）是事先给定的 如何给出（W, F, P）需要根据具体情况而定 五、概率空间 则由概率的可加性可知 （1）选定了（W, F）之后，概率的给定还有相当大的灵活性。（例如抛硬币） （2）一旦P(wi)给定后，事件A的概率就不能 任意给定 W：R1的一部分 F: 直线上Borel点集I W全体 P：对左闭右开区间I W定义概率 No4 作业 P50 习题一 36 37 39 问 题 已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 , P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6 第4周 则A,B,C 全不发生的概率是多少 * Ch1：事件与概率 §5 概率空间 一、走向概率的公理化结构 二、事件域 三、概率的公理化定义 四、可列可加性与连续性 五、概率空间 事件 1、概率论缺乏严格的理论基础 直到20世纪初，概率论的一些基本概念还缺乏明确的定义。 一、走向概率的公理化结构 事件是“某些样本点的集合”，那么任意样本点的集合都是事件吗，或者说样本空间的子集都是事件吗？ 概率 统计定义、古典定义、几何定义 各有适用范围，各有局限性 各种定义下的性质也略有不同 2、概率论公理化时机的逐渐成熟 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 概率的公理化定义，即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 样本点：随机试验的可能结果，用?表示； 可以看成是抽象的点 二、事件域 样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即 样本点的全体，记作 ? 事件： 样本空间?的一个子集，常用大写字母A、 B、C 等表示；事件A发生当且仅当A所包含 的样本点中在实验中出现 说明： 一般不把样本空间的一切子集都作为事件 必须把问题中感兴趣的事件都纳入研究之中 事件域： 事件的全体，记为F ：样本空间的一些子集构成的集类 ：是样本空间上的一个σ-域 定义： 若F 为样本空间?的一些子集构成的一个σ-域，则称它为事件域， F 中的元素称为事件，W称为必然事件，? 称为不可能事件。 事件域可以选得很简单，也可以选得十分复杂， 需要根据不同要求选择适当的事件域。 一维博雷尔σ域 B 包括一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以