李尚志数与学实验ppt .pptVIP

数学实验 李尚志 教授 中国科学技术大学 数学系 何谓“数学实验” 对数学进行折腾 连蒙带猜找规律 从问题出发 学生自己动手、动眼、动脑 借助于计算机（成千上万次折腾） 尝试数学的探索、发现和应用 实验一：微积分基础 函数图象： sin(x)及其Tylor逼近。 sin(x)+sin(3x)/3+… sin(1/x)在x=0附近的性状。 画数据点集合 d=Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,1000}] (定义点集） ListPlot[d] （画出点集） 点集中显现出什么曲线？ 实验二: ? 的计算 想一想：怎样算 ? ？ 当一回祖冲之！ 圆的面积 单位圆的面积等于 ? 计算第一象限内的单位圆的面积，方法为：把它分成n个窄的曲边梯形，计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ... 无穷级数法 arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... ? /4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 ?/4 = arctan 1/2 + arctan1/3 ?/4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239 蒙特卡洛方法 求出S=?/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内?x2+y2?1 ?/4的近似值为落在圆内 的点数与总投点数的 比值 实验三: 最佳分数近似值 问题： 祖冲之的圆周率为 A. 3.141592， B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？ 评选最佳 何为最佳？误差d小，分母v小。 选法1：递增选v，使d 递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：按 v2d 从小到大选十佳。 音阶的频率比 声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！ 音阶的频率比 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2 实验八: 天体运动 万有引力定律 -- 开普勒定律 太阳位置 (0,0) 时刻 ti: 天体位置(xi,yi), 速度 (vix,viy) ri2=xi2+yi2,加速度大小 | ai|=k/(ri2), 加速度矢量（ aix,aiy)=(-|ai| xi/ri,-|ai| yi/ri) ti+1= ti+ d: vi+1,x=vix+aixd , vi+1,y=viy+aixd; xi+1 = xi + vi+1,x d, yi+1 = yi + vi+1,y d 从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道 凹面镜的正确形状 画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？ 要求凹面镜将平行光线聚于一点F，画出凹面镜截面曲线：从顶点 P0出发，向垂直于入射光线的方向前进一小段到 P1。一般的，设曲线已到Pi，则反射光线为P i F。按反射定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到 P i+1 点。重复此过程。 观察猜测上面画出的是什么曲线？验证。 点电荷组的电力线与等势线 从一个点电荷的位置 P0 向任一方向出发走一小段到 P1 点。 利用库伦定律计算 P1点电场强度方向，从 P1点出发向此方向走一小段到 P2 点。 重复此过程可画出一条电力线。 换另外的方向出发可画出另外的电力线。 同理可画出等势线。 实验七: 几何变换 (x,y) ? (x’,y’) x’=f1(x,y), y’=f2(x,y) 曲线C: x=x(t),y=y(t) ? 曲线C’：x=f1(x(t),y(t)), .