数项级数与敛散性习题课 .pptVIP

一、数项级数的审敛法 3. 任意项级数审敛法 例4 若级数 解答提示: 利用比值判别法, 可知原级数发散. 设正项级数 设级数 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、求幂级数收敛域的方法 例8 * 第十二章(1) 习题课 数项级数的敛散与幂级数的收敛域 三、课外练习题 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅立叶级数. 为傅氏系数) 时, 时为数项级数; 时为幂级数; 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 例1 解 原级数发散． 例2 解 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例3 解 因为 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证 则由题设 收敛 收敛 收敛 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 据比较判别法, 原级数发散 . 因调和级数发散, P322 题2 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 ∴原级数发散 . 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . 时发散. 发散, 收敛, 和 也收敛 . 提示: 因 ?存在 N 0, 又因 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n N 时 P323 题3 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , 收敛, 级数 发散 . 例如, 取 P323 题4 提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ; 0 p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 P323 题5 因 单调递减, 且 但 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 因 所以原级数绝对收敛 . 例5 解 即原级数非绝对收敛． 由莱布尼茨定理： 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 例6 解 由比较审敛法知， 即原级数绝对收敛． 例7 解 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 求下列级数的敛散区间: 练习: P323 题7 解 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛区间为 解 因 故收敛区间为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散;