数理方程与-课程总结 .pptVIP

* (28) (27) 其中 是以 边界为 为心， 为半径的球域， 在球坐标系中，表达式(31)变为 (32) 公式(31)或(32)称为球域上的泊松公式 其中 求解球域上的狄利克雷问题： 10 * 考试时间：5月20日上午(第十三周周一) 考前集中答疑安排： 地点：科技楼南楼602（应用数学系办公室） 时间：5月19日全天 * 第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： 当方程和边界条件均为齐次时， ● 不管初值条件 如何，可直接应用分离变量法求解； (适用有界区域、两个变量) * 第2章主要内容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： 当边界条件为齐次、 ● 方程与初始条件为非齐次 时， 原定解问题分解成两个， 其一是方程为齐次的并具有原初始条件的定解 问题，这个问题应用分离变量法求解； 其二是方程为非齐次的并具有齐次初始条件的 定解问题，该问题应用固有函数法求解； * 几种常见的固有函数系的形式 (1) (2) (3) (4) 以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和 矩形域上的泊松方程是适用的。 圆域上的泊松方程对应的固有函数系为 (5) * 如下常微分方程的初值问题 (52) 的解为 (53) 如下常微分方程的初值问题 (63) 的解为 (64) * 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： 当边界条件为非齐次时， ● 则必须引进辅助函数 把边界条件化为齐次的， 然后再按照以前的方法 求解。 第2章主要内容 * (4) (3) (2) (1) 几种非齐次边界条件相应的辅助函数 的表达式： 以上4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热传导方程都适用。 注意2.5节的例2 * 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言： 分离变量法、 固有函数法、 作辅助函数法 方程和边界条件齐次 方程非齐次，定解条件齐次 边界条件非齐次 第2章主要内容 * 2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系，使得 ● 在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于 求解。 对圆域、圆环域、扇形域等采用极坐标 例如， ● 对于像矩形 带形 一类的区域采用直角坐标系 应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应 用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。 第2章主要内容 * 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) (Q) 思路1 (1)找出此泊松方程的一个特解 令 (2)将泊松方程化成拉普拉斯方程 可用分离变量法或试探法求解问题(Q) 第2章主要内容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) 思路2 将问题(P)的解看成两部分， 令 和 分别满足 第2章主要内容 * 3.对于二维泊松方程的边值问题而言： (P) (P1) (P2) 和 固有函数法 分离变量法(或试探法) 第2章主要内容 * 第5章主要内容 (11) 1. 阶贝塞尔方程 (18) 2. 阶第一类贝塞尔函数 (21) 3. 阶第二类贝塞尔函数 (适用有界区域、三个自变量) * 4. 阶贝塞尔方程的通解可表示为 (25) (26) 5. 阶贝塞尔函数的递推公式 (27) (28) 第5章主要内容 * 4. 阶贝塞尔方程的通解可表示为 (25) (26) 特别的， (29) 5. 阶贝塞尔函数的递推公式 第5章主要内容 * 6. 傅里叶-贝塞尔级数 (42) 其中系数 由下式确定 (43) 7. 贝塞尔函数的应用(分离变量法) 第5章主要内容 书上3个例子 * (3) (4) (18) 1 无限长弦自由振动问题 的达朗贝尔解为公式 (13) 其中方程(3)的通解形式为 行波法或达朗贝尔解法 第3章主要内容 (适用无界区域) (局限波动方程) * 2 无限长弦强迫振动问题 的解为公式 (1) (2) (26) 第3章主要内容 * (31) (27) (28) 3. 三维波动方程初值问题的泊松公式 第3章主要内容 * (36) (32) (33) (34) 4. 二维波动方程初值问题的泊松公式 第3章主要内容 * 几类常见的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5. 几类常见的拉普拉斯变换或逆变换 1. 3. 4. 特别的， 2. 5. 延迟定理的逆变换形式 6. 积分变换法举例（书上6个例子） 不受方程类型的限制 * 二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为 1 2 (6) 空间上格林第二公式 第4章主要内容 (6’) 平面上格林公式 二维、三维拉普拉斯方程边值问题 * (8) 3 调和函数的积分表达式(三维情形) 二维情形下，调和函数的积分表达式 第4章主要内容 (8’) * 性质1 (12) 调和函数的基本性质 4 设函数 它在 上连续，且不为常数， 则 内的调和函数， 是区域 性质3 它的最大值、 最小值