数值分析与chap4 .pptVIP

2. 预备知识 Preliminary 满足函数方程 f(x)=0 的x称为方程(1)的根，或称为函数f(x)的零点。如果函数?(x)可分解为 ?(x)=(x?s)mg(x) 且g(s )?0,则称s是?(x)的m重零点或?(x)=0的m重根。当m=1时，称s是?(x)的单根 或单零点。 若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方程, 特别地, 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或代数方程；若f(x)是超越函数，则称(1)为超越方程。 定理1.(根的存在定理) 假设函数y=f(x)?C?a,b?,且f(a)·f(b)0, 则至少存在一点x ?(a,b)使得f(x )=0. (并称区间(a,b)为有根区间). 定理2 假设函数y=f(x)在?a,b?上单调连续,且f(a)·f(b)0, 则恰好只存在一点x ?(a,b)使得 f(x )=0 定理3 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微，则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是 求根的区间(1) 画图法(2) 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。 也可将f (x) = 0分解为?1(x)= ?2(x)的形式， ?1(x)与 ?2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 例如xlgx –1 = 0 可以改写为lgx=1/x 画出对数曲线y=lgx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内 对于给定的f (x)，设有根区间为[A,B]，从x0=A出发，以步长h=(B-A)/n(n是正整数)，在[A,B]内取定节点：xi=x0＋ih (i=0，1，2，…，n)，从左至右检查f (xi)的符号，如发现xi与端点x0的函数值异号，则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。 用逐步有哪些信誉好的足球投注网站法进行实根隔离的关键是选取步长h 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。 （1）x0=a (2) 若f(x0)·f(x0 +h)0,则[x0 , x0 +h]为含根子区间，取x0 或 x0 +h为初始近似根，否则转（3）。 （3） x0 = x0 +h ，转（2）。 3. 二分法 Bisection 常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。 给定方程f(x)=0,设f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)0,则方程f(x)在(a,b)内至少有一根,为便于讨论,不妨设方程f(x)=0在(a,b)内只有一个(重根视为一个)实根，求满足精度要求的近似值实根。 二分法概念及基本思想 概???念： 二分法也称对分区间法、对分法等， 是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。 基本思想：利用连续函数的零点定理，将含根区 间逐次减半缩小，就可以构造出收敛点列 来 逼近根x。 构 造 原 理 定理1.(根的存在定理) ?????? 这个原理指出了根的存在区间可由两端点处的函数值是否反号确定，那么注意到，将含根区间分为两个长度相等的子区间后，在这两个子区间上也可利用零点原理确定根在那个子区间上，如此继续下去就达到将含根区间逐步缩小的目的，此时，在这一些相互包含的子区间中构造收敛的数列x_k将它收敛于根x ，见下图?? 详细过程 the process of Bisection method Because 二分法的优缺点(Advantages and drawbacks) 简单并保证收敛; always converges 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . f is only required to be continuous 无法求复根 和偶重根 收敛慢 (仅与一个以 1/2为比值的等比级数相同) converge slowly 调用一次求解一个[a, b]间的多个根无法求得 确定根所在的范围［a,b］对有的函数也是一 件困难的事。所幸的是，在实际应用中，根 据其物理或工程的背景，在绝大部分场合是 不困难的。对给定的函数也有确定范围的方 法。 Example: 求方程 二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤如下：  不动点迭代法 Fixed-Point Iteration 迭代过程的几何表示 需要讨论的问题 Problem 首先期望每个xk都在? (x)的定义域上,保持有界而且收敛到精确解; 如何选取适合的迭代函数? (x) ; 迭代函数? (x)迭代满足什么条件,迭代序列收敛到精确解, 收敛速度如何; How to c