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几个多元函数例子 Schǒrdinger 方程 统计（热）物理：Boltzman方程 电磁场基本方程(Maxwell) 经济学中的C-D生产函数，边际利润，空间物体质量，功，流体，弹性等。 注意 二重极限：点以任意方式（路径），任意方向趋近。 不同方式的极限存在但不等或有一种方式的极限不存在都可以断定原二重极限不存在 与二次（累次）极限的区别 二重极限与二次极限都存在且相等，如 二次极限都存在相等但二重极限不存在 二重极限存在但二次极限不存在，如 二次极限存在但不等，如 若存在二重极限与累次极限，则必等，如 问题：若二个累次极限存在但不等，二重极限是否一定不存在？一个累次极限和二重极限存在是否可以保证另一个累次极限存在？ * 微积分下概论 多元函数 多元函数建模 极限 极限实质：当动点趋于某定点 时，函数值的趋势？关键是距 离的引入。 微分学：引起函数值改变的因素可以是每个自变量； 一元考虑函数值增量和自变量增量比值的极限；多 元为偏导数。而考虑全增量和所有自变量增量的关系 导致全微分。 积分学：累积量的研究，微元法在多元函数上的应用； 情况复杂，线、面、体积分，数量值、向量值函数积 分等。 逼近论初步：级数：Taylor,Fourier 映射 映射： 极限：一元函数 2个要素：1、直线上（1维空间）点的距离，体现 在邻域，即自变量的逼近程度；2、 简单讲：像和原像集合的距离是什么？ 中的距离 第五章 多元函数微分学 §5.1 多元函数 一、 邻域 或 若点P0不包含在该邻域内，则称该邻域为点P0的 空心邻域，记为U . 如图所示1.1(a)是包含点P0的邻域 1.1(b)是不包含点P0的空心邻域U . 二、内点、外点、边界点、聚点 例如: 1.内点 中每个点都是D*的内点 3. D 的边界点 边界 D 的 集合称为 的 边界 ． 例 (0,0)既是边界点也是聚点． 例如: (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如: 边界上的点都是聚点也都属于集合． 点集D的聚点可以属于D，也可以不属于D． ● 三、点集 1.开集 设D是平面点集, 例 为开集． 2.区域 闭集：余集为开集 例如 为区域. 开区域连同其边界称为闭区域. 例如 为闭区域. 对于一个区域D, 如果 存在M0, 使得D内任何点到原 点的距离都小于M, 则称这个区域为有界区域, 否则称为无界区域. 3.有界区域 有界区域 无界区域 4. 在n维空间Rn中的推广 设两点为 (1) 两点间的距离 (2) 邻域的概念 邻域： 类似地,可以定义n维空间Rn中的内点、边界点、 区域、聚点等概念． 四、多元函数的概念 定义1.设D为R2的非空子集(平面点集),R为实数集, 若f 为D到R的一个映射,即对于D中的每一点(x,y),通过 f,在R中存在唯一的实数z与之对应,则称f 为定义在D上 的二元函数, 记为 类似地可定义三元及三元以上函数． n元函数简记为 二元函数 在几何上表示一张曲面. 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 五、等值线 z=f(x,y)的图象在R3为一曲面，若在定义域D f 上满足 f (x,y)=C（常数）的点集： 是xoy平面上的曲线，则将此曲线称为二元函数 z=f(x,y)的等值线. 当C取一系列值C1 , C2 , … ,Cn时， 得等值线L1, L2 ,…,Ln称为等值线族. L1, L2, L3, L4,为等值线 六、多元函数的极限 记为 极限概念的推广： 例2 设 例3 设函数 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．