微分方程与复习要点 .pptVIP

* 1．一阶微分方程 2．可降阶的二阶微分方程 3．二阶线性微分方程的解的结构 4．二阶常系数线性微分方程 一、第七章要点 1．一阶微分方程 1)可分离变量的微分方程 解法 类型 2)一阶线性微分方程 类型 解法 3)齐次方程 此为变量可分离的微分方程． 类型 解法 令 ，则 ．原方程变为 4)伯努利方程 为一阶线性微分方程． 类型 解法 令 ，则原方程变为 2．可降阶的二阶微分方程 方法 作 次积分． 新方程是一个一阶微分方程． 1)类型 2)类型 方法 令 ，则原方程转变为 新方程是一个一阶微分方程． 3)类型 方法 令 ，则原方程转变为 3．二阶线性微分方程的解的结构 设二阶线性微分方程 而称方程 为方程⑴所对应的齐次线性方程．有 ⑴ ⑵ 1)若 是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解 的一个特解． 2)若 是方程⑴的特解，则方程⑴有通解 3)若 是方程 的特解， 则 为方程 4．二阶常系数线性微分方程 1)二阶常系齐次数线性微分方程 设方程 相应的特征方程为 则：①若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为 ②若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为 ③若方程有一对共轭复根 ，则方程的通 解为 2)二阶常系数非齐次线性微分方程 ①设方程为 则方程有特解 其中 是一个与 同次的多项式，而 若 不是特征方程的根， 若 是特征方程的单根， 若 是特征方程的二重根． ②设方程 则方程有特解 其中 是 次的多项式， ，而 按 是否为特征方程的根而分别取1或0． 二、例 题 选 讲 解 此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量， 因 得 例1 求解方程 ． 两边积分，得 即得原方程的通解 解 原方程变形后为齐次方程 例2 求解方程 ， ． 作变换 ，则有 移项，得 两边积分，得 将 代入，有 即满足初始条件的解为 由初始条件 ，得 ，即原方程的解为 解 原方程变形为 即 例3 求微分方程 的通解． 此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程， 由求解公式得 分离变量，得 两边积分，得 例4 求解微分方程 ． 解法1 此方程为齐次方程，作代换 ，则有 故方程的通解为 即 由于