流体运动的描述与连续方程.ppt

*/175 第 1 章 流体运动的描述与连续方程 1.1 描述流体运动的方法 1.2 迹线与流线 1.3 流体(运动)基本方程积分式-包括连续方程积分式的应用 1.4 流体运动连续方程微分式 1.5 流体微团的运动分析 1.6 有旋流动与无旋流动 § 2.2.3 散度及其意义 三个方向的线变形率之和在向量分析中称为速度向量 的散度，符号为 ，即 散度在流动问题中的意义是微团的相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）。 为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别是Δx, Δy, Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz），经过Δt 时间后三个边长分别变为： § 2.2 流体微团运动的分析 则相对体积膨胀率（单位体积在单位时间内的增长量）为： § 2.2.3 散度及其意义 § 2.2 流体微团运动的分析 可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零： 如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。 § 2.2.3 散度及其意义 § 2.2 流体微团运动的分析 § 2.2.4 旋度和位函数 微团的瞬时角速度 是上述三个方向角速度分量之和，这个值在向量分析里记为 ，或 ，称为 的旋度： 一个流场，如果各处的 基本上不等于零，这种流场称为有旋流场，其流动称为有旋流。一个流场，如果各处的 都等于零，这种流场称为无旋流场，其流动称无旋流。 § 2.2 流体微团运动的分析 在数学分析里，上式是式 成为全微分的必要和充分条件 这样的划分在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一个 的条件。这个条件就是 ： § 2.2.4 旋度和位函数 § 2.2 流体微团运动的分析 现在既是无旋流，我们可令 代表这个全微分： 名为速度位或称位函数，为标量。 ； ； 这就是说，位函数在某个方向的偏导数便等于速度在那个方向的分量，例如 ： u,v,w 与φ 的关系是： § 2.2.4 旋度和位函数 § 2.2 流体微团运动的分析 位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流存在速度位φ，则沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分结果只与二端点的φ 值之差有关而与积分路径无关： 一个无旋流场一旦知道了它的位函数 的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速来。 § 2.2.4 旋度和位函数 § 2.2 流体微团运动的分析 例. 设有一个二维流场其速度分布是 , 问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？微元如何变形？ 可见流动是无旋的，应该有速度位函数φ存在。 解: 1. 计算ωz： § 2.2.4 旋度和位函数 § 2.2 流体微团运动的分析 积分得： （此处积分常数取为零 ） 3. 求流线：由流线方程 2. 求Φ： § 2.2.4 旋度和位函数 § 2.2 流体微团运动的分析 积分得 常数C取一系列的值，得流线是一系列双曲线。 4. 线变形率：由 及 ，得： 5. 角变形率： 6. 散度： § 2.2.4 旋度和位函数 § 2.2 流体微团运动的分析 考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；x方向线段有拉伸，y方向线段缩短；尽管微团有线变形，但微团无角变形；此外由于散度为零，流动过程中矩形微团面积保持不变。 需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再确定速度分布的 。 § 2.2.4 旋度和位函数 § 2.2 流体微团运动的分析 § 2.5 环量与涡 § 2.5.1 环量与涡的概念 研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。 如果把一个速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量u,v,w ,把线段ds也分解成dx, dy, dz 三个方向的三个线段，有： 沿曲线AB作速度的