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曲面数控加工的若干几何概念 授课人：王清辉 华南理工大学 机械与汽车工程学院 Email: wqh@scut.edu.cn 曲面数控加工的若干几何概念 1、刀轨计算的基础 - 曲线曲面的数学描述方法 （ 解析曲线曲面、参数曲线曲面、离散曲面…） 2、参数曲面的微分几何性质 （ 切矢、法矢、曲面的连续性、法曲率、主曲率、高斯 曲率,…） 一、曲线曲面的数学描述方法 曲线的分类  规则曲线：可用初等解析函数来表示. 如圆、椭圆、双曲 线、圆球、圆柱、圆锥等;  自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用初等解析函数来 描述的光滑连续性曲线. 如汽车车身、船体外壳和飞机机 翼等;  随机曲线：处处连续，处处不光滑且处处不可导的非规则 曲线. 如地图边界、海岸线、水波以及超声等. 一、曲线曲面的数学描述方法 曲线的分类  规则曲线：可用初等解析函数来表示.如圆、椭圆、双曲 线、圆球、圆柱、圆锥等; 抛物线 椭圆(上)与圆(下) 双曲线 二次圆锥曲线 一、曲线曲面的数学描述方法 曲线的分类  自由曲线：以复杂方式自由变化，无法用初等解析函数来 描述的光滑连续性曲线,而必须用参数方程表示. 如汽车 车身、船体外壳和飞机机翼等; 三次样条曲线 （Ferguson,Bezier,Nurbs曲线） 曲线曲面参数表示的概念 曲线曲面的表示分为：  参数方程表示  非参数方程表示  显式表示 y  f (x) f (x, y,z)  0    隐式表示 z  g(x) g(x, y,z)  0 对于一条平面曲线! 显式的非参数方程的一般式是 y=f(x); 一条直线方程 y=mx+b 就是一个例子。（显示表示） 曲线曲面参数表示的概念  显式表示的特点：输入X, 给出Y,计算机绘图很方便…  存在的问题: 每一个X的值只对应一个y值,所以用显式方 程不能表示封闭或多值曲线。 2 2 但在绘制诸如 X 十Y =1 的简单的单位圆时，必须分为 两个函数，显示出用显式方程表示曲线的不方便之处!  隐式表示: 用隐式的非参数方程不受上述限制,其一般式为f(x,y)=0。 曲线曲面参数表示的概念 所有非参数方程,无论显式还是隐式都具有如下特点: [1] 与坐标轴相关的; [2] 会出现斜率为无穷大的情况,如平行于Y轴的直线; [3] 不便于计算和编程序. 曲线曲面参数表示的概念 参数曲线的位置矢量：曲线上任一点的坐标可用其位置矢量表 示： P(t) [x, y, z] [x(t), y(t), z(t)] 曲线曲面参数表示的概念  参数方程：如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变 数t的函数；  参数：曲线方程中使用的自变量(时间，距离，角度，比 例等),当在某个范围内改变是,对应坐标点在曲线上的移动.  参数的范围：我们不可能也没有必要去研究 t 从∞到- ∞的整条曲线，而往往只对其中的某一部分感兴趣。通常我们 经过对参数变量的规格化，使参数t在[0,1]的封闭区间内变化， 写成tЄ [0,1]。 曲线参数表示的例子–直线段 • 考虑直线段 P (x , y , z )→P (x , y , z ) 0