高考文数二面角复习讲义.docVIP

【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为__________． 解析： 求两条异面直线所成的角的具体步骤是：①选点平移；②证明所作的角为异面直线所成的角；③解三角形求角．但有时也可以通过证明线面垂直来得到． 【变式训练】直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析： 延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，所以∠DA1B=60°，选C. 解析： 求直线与平面所成角的步骤是： ①作出斜线与射影所成的角； ②利用三角形知识求角． 解析： 3.平面与平面所成的角 【例3】(2011·浙江卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上． (1)证明：AP⊥BC； (2)已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2. 求二面角B-AP-C的大小． 解析： (1)证明：因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC，又PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC. 因为PO∩AD=O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA。 (2)如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连接CM. 因为BC⊥PA，所以PA⊥平面BMC，所以AP⊥CM. 故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角．在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=.根号41 【变式训练】如下图，四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1. (1)求证：平面ACD⊥平面ABC； (2)求二面角C-AB-D的大小； (3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度． 解析：(1)证明：因为AB、BC、CD两两垂直，所以CD⊥BC，CD⊥AB.又因为AB、BC为平面ABC内的两条相交直线，所以CD⊥平面ABC，而CD?平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)因为AB⊥CD，AB⊥BC，而BC、CD是平面BCD内的两条相交直线，所以AB⊥平面BCD.而BD?平面BCD，所以AB⊥BD，所以∠CBD为二面角C-AB-D的平面角． 又因为BC=CD=1，BC⊥CD，所以∠CBD=45°，即二面角C-AB-D的平面角为45°. 思维启迪： 求直线与平面所成的角：通常是先找(或作出)其夹角，然后再求．但若能由体积计算出高，则可避免找角的困难，其角的正弦值=高/斜线长，或者其角的余弦值=射影长/斜线长.求二面角：通常是先找到(或作出)其平面角，然后再求． 4.空间角与空间距离的综合 【例4】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点． (1)求证：平面PDE⊥平面PAC； (2)求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值； (3)求点B到平面PDE的距离． 解析： 利用几何法求B点到平面PDE的距离时，充分利用第(2)问的结论，将点B到平面PDE的距离转化为求点C到平面PDE的距离，这种转化思想值得好好体会． 【变式训练】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BM⊥PD，垂足为M，O为BD的中点． (1)求证：PD⊥平面ABM； (2)求点O到平面ABM的距离； (3)求直线OA与平面ABM所成角的正弦值． 解析： (1)证明：因为PA⊥平面ABCD， 而AB?平面ABCD，所以PA⊥AB， 又因为AB⊥AD，PA、AD为平面PAD内的两条相交直线， 所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD， 又因为BM⊥PD，AB、BM为平面ABM内的两条相交直线，所以PD⊥平面ABM. (2)因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半． 由(1)知，PD⊥平面ABM于M， 则DM就是D点到平面ABM的距离． 因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM， 所以M为PD的中点，DM=2 ， 所以点O到平面ABM的距离等于. 1