综合法与分析法 教案北师大版选修.doc

§2 综合法与分析法 2．1　综合法 2．2　分析法 (教师用书独具) ●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生分析综合法和分析法的思考过程与特点； (2)简单运用综合法与分析法解决具体的数学问题． 2．过程与方法 结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析综合法与分析法的思考过程与特点，并归纳出操作流程． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯； (2)通过本节的学习和运用实践，体会数学问题解决过程中的思维方式． ●重点难点 重点：(1)了解综合法与分析法的思考过程和特点；(2)运用综合法与分析法证明数学问题． 难点：对综合法与分析法的思考过程和特点的概括． 教学时要结合学生已学过的数学知识，通过实例充分暴露学生解决问题时的思维过程及形成原因，再通过不同实例概括两种方法的思考特点，从而揭示综合法与分析法的含义，使重点突出，难点化解． (教师用书独具) ●教学建议 在以前的学习中，学生已积累了较多的综合法、分析法证明数学问题的经验，但这些经验是零散的，不系统的．由此，借助学生熟悉的数学实例，引导学生归纳总结两种方法的特点，促使他们形成对两种方法的较完整认识．所以本节课宜采取自主探究与师生交流相结合的教学模式，充分暴露学生思维，总结共性，形成规律． ●教学流程 ?????? 课标解读 1.理解综合法、分析法的概念．(重点) 2.能利用综合法、分析法证明简单问题．(重点) 3.感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，形成理性思维．(难点) 综合法 【问题导思】　 阅读下列证明过程，回答问题． 已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2. 证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2＝2＝2，故2x＋2y≥2成立． 1．本题的条件和结论是什么？ 【提示】　条件：x＋y＝1；结论：2x＋2y≥2. 2．本题的证明顺序是什么？ 【提示】　从已知利用基本不等式到待证结论． 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法. 分析法 【问题导思】　 证明不等式：＋22＋成立，可用下面的方法进行． 证明：要证明＋22＋， 由于＋20,2＋0， 只需证明(＋2)2(2＋)2， 展开得11＋411＋4，只需证明67， 显然67成立． ＋22＋成立． 1．本题证明从哪里开始？ 【提示】　从结论开始． 2．证题思路是什么？ 【提示】　从结论开始，寻求每一步成立的充分条件． 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法. 综合法的应用 　设a，b，c0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【思路探究】　注意到不等式左、右两边的特征，只需利用“＋≥2＝2c”，就可将左、右两边的形式化异为同． 【自主解答】　因为＋≥2＝2c， ＋≥2＝2a，＋≥2＝2b，将以上三个不等式左、右分别相加，得：2(＋＋)≥2a＋2b＋2c，即＋＋≥a＋b＋c. 1．应用综合法解决问题时，应充分分析条件和结论之间的异同点，然后合理选择相关定义、定理、公式等已知结论化异为同将条件向结论转化． 2．综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决．综合法广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法．一般说来，当题目已知条件中因果关系较清晰时，可正向思考，由因索果，用综合法解决． 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4. 【证明】　法一　a，b是正数且a＋b＝1， a＋b≥2，≤， ＋＝＝≥4. 法二　a，b是正数， a＋b≥20，＋≥20， (a＋b)(＋)≥4. 又a＋b＝1，＋≥4. 法三　a，b是正数，且a＋b＝1， ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号． 分析法的应用 　已知a0，求证：－≥a＋－2. 【思路探究】　条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明． 【自主解答】　要证 －≥a＋－2， 只需证 ＋2≥a＋＋. a0，故只需证( ＋2)2≥(a＋＋)2， 即证a2＋＋4＋4 ≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2， 从而只需证2≥(a＋)， 只需证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)， 即证a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 1．本题观察到已知条件简单(a0)，而证明的结论 －≥a＋－2比较复杂，这时我们一般采用分析法． 2．分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可． 将本例的条件改为“a＋b0”，结论改为“≥(a＋b)”． 【证明】