第章 随机变量及其分布.doc

随机变量及其分布 1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。 解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取表明第个人是A型血而前个人都不是A型血，因此有 ， （） 上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。 2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X只能取值0，1，2。设以记第个阀门没有打开这一事件。则 ， 类似有， ,综上所述，可得分布律为 X 0 1 2 0.072 0.512 0.416 3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为 。 （1） （2）； （3）； （4） 4，设有一由个元件组成的系统，记为，这一系统的运行方式是当且仅当个元件中至少有个元件正常工作时，系统正常工作。现有一个系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。 解：对于系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为 5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松分布近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以 （查表得）。 6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~，求 （2）已知随机变量X~，且有，求。 解：（1）； （2）根据，得到。所以。 7，一电话公司有5名信息员，各人在t分钟内收到讯息的次数（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数。 （1）； （2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以 。 （3）每个人收到的讯息次数相同的概率为 8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为， （1）确定；（2）求；（3）求；（4）求。 解：（1）根据，得到； （2）； （3）； （4）。 9，设随机变量X的概率密度为，求t的方程有实根的概率。 解：方程有实根表明，即，从而要求或者。因为 ， 所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937. 10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为 求寿命不到一周的概率； 求寿命超过一年（52周）的概率； 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。 解：（1）； （2）； （3）。 11，设实验室的温度X（以计）为随机变量，其概率密度为 某种化学反应在温度X 1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。 求，。 解：（1）； （2）根据题意，所以其分布律为 （3） ， 。 12，（1）设随机变量Y的概率密度为 试确定常数C，求分布函数，并求，。 （2）设随机变量X的概率密度为 求分布函数，并求，。 解：（1）根据，得到。 ； （2） ； 。 13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此 ，（，且） 当n取3时， ,（，且）,表格形式为 X 1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律