第七章多元函数积分和其应用.pptVIP

第七章多元函数积分及其应用 7.1 二重积分的概念与性质 7.2 二重积分的计算 7.3 二重积分的应用 0 y x D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围 1 1 –1 先对 y 积分 . 先对 x 积分 D1 D2 . x =1– y x = y +1 （不分块儿行吗？） 例 将二重积分化成二次积分 . D: 由四条直线 : x=3，x=5, 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 共同围成的区域 o x y 3 5 5 8 3x – 2y+4 = 0 3x – 2y+1 = 0 D . D1 D2 D3 先对y积分 先对x积分 . . （需分块） . . （需分块） 例. 将二重积分化成二次积分 D: . . 0 y x 1 1 y = x y = x2 . 例 将二重积分换序 D: . . 0 y x a a . . . . x = y 例. 将二重积分换序 一 先对x积分 y x o a b D y x o a b D y x o a b D . . . . (练习)将二重积分化成二次积分 二 先对 y 积分 y x o a b y x o a b y x o a b D D D . . . . (练习)将二重积分化成二次积分 . 例 计算 其中D 是由y=x ,y=1及x=2所围成 的的区域. 解: 方法一 y x 1 2 0 y＝x 1 y 2 方法二 x 0 1 2 2 y＝x 1 y x 例2 计算 D 由y=x,y=x/2.及y=2围成 解 先对x后对y 图7-11 x y 0 y＝x y＝2 y＝x/2 x y 0 y＝x y＝2 y＝x/2 2 （a） （b） 这样计算较烦,由于积分区域的关系,本例宜采用先对x后对y的积分次序. 采用先对 y后对x的积分次序. 解 画出 的图形(图7-12(a))若先对y后对x积分,则得 由于上式右端出现了不能用初等函数表示的积分 所以计算不出结果,故本题不能先对y后对x积分. 例3 计算二重积分 ,其中 D 是由直线 y=x 及 y=1,x=0 所围成的区域. x y 0 y＝x y=1 y＝x x y 0 y＝1 （a） （b） 图7－12 若先对x后对y 积分(图7-12(b)) 综合上述各例,我们在计算二重积分时,必须根据积分区域和被积函数的特点,选择合适的积分次序. 消去方程组 中的z ,得积分区域 的边界曲线方程为 例 求曲面 与 所围立体的体积 0 x y z z=x2+y2 z=2-x2-y2 (a) D 0 x y 1 x2+y2=1 (b) 图7-13 解 先画出立体的图形(图7-13(a)),由图可知,该立体在xoy 面上的投影区域 D 的边界为两曲面交线在xoy 面上的投影. 设所求立体体积为v,它是区域 D 上曲顶为 的柱体体积 与区域 D上曲顶为 的柱体体积 之差,故 设立体在第一卦限部分的体积为 V3 ,其积分区域为 D1(图7-13(b)),利用对称性,得 二、为什么引用极坐标计算二重积分 2 1 D 0 y x D1 D2 D3 D4 D: . 怎么计算？ 需使用极坐标系！ 此题用直角系算麻烦 必须把D分块儿! 适合问题： 积分区域是 圆域,圆环域 或他们的一部 分,而且被积函数用极坐标θ,r表示又较简单(如被积函数中含 ), 极坐标系下的面积元素 将 变换到极坐标系 0 D 用坐标线: ? =常数；r =常数 分割区域 D ?i ri ri+1 . . . . . . 如何 利用极坐标计算二重积分 ??i ??i ?i +??i I = ?ri r . . 怎样利用极坐标计算二重积分(1) 极点不在区域 D 的内部 0 A B F E ? ? ? D D: r r 怎样利用极坐标计算二重积分(1) 0 A B F E ? ? D D: . r 极点不在区域 D 的内