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微分流形讲义（二） 曹策问 2012 年秋 第 8 章 Frobenius 理论 §8.1 叶状结构 8.1.A 叶状结构 自然界中经常可观察到物体中的叶状结构（leaved structure ）。1 维情形如植物的茎、动 物的肌肉等纤维结构；2 维情形如竹笋、洋葱、百合等的层状结构，以及悬崖断层上显露出 来的地层沉积分布等。一个物体具有h 维叶状结构的基本特征是它被一族h 维曲面填满。 定义 称m 维微分流形M 有h 维叶状结构 （h m ），若过M 每一点p ，有且仅有一 个h 维子流形M h 。 将流形看成物体，每个子流形看成一个h 维叶片，它们填满物体。 下面用微积分方法研究叶状结构。过每点 p M ，存在唯一的一个h 维子流形M h ， 它在p 处的切空间Lh 是一个h 维向量空间，是m 维向量空间T M 的子空间。当p 取遍M ， p p 我们有 M 上一个 h 维切子空间场 Lh 。有的作者称此切子空间场为一个h 维分布 ，见 Chevalley，《Theory of Lie Groups》。 例 同心球面族 2 2 2 3 f (x , y , z ) x y z const . 填满M  {0} ，给出M 的一个 2 维叶状结构。这些球面在各点处的切平面产生M 中的一个2 维切子空间场。 8.1.B Frobenius 条件 流形M 的每一个h 维叶状结构，产生一个h 维切子空间场Lh 。反问题是，给定M 上 一个h 维切子空间场Lh ，是否存在M 的一个h 维叶状结构，使得相应的h 维切子空间场恰 巧就是Lh ？若存在，称切子空间场Lh 完全可积，称过p 点的h 维子流形为一个积分流形。 h h 切子空间场L 不一定完全可积。Frobenius 发现一组充分条件，保证L 完全可积，即保证叶 状结构的存在性。 h h 定义 设L 为m 维微分流形M 上的一个h 维切子空间场。称L 满足 Frobenius 条件 (F ) ，若M 上存在处处线性无关的h 个光滑向量场X 1, , X h ， (1) 张出Lh ，Lh span{X 1 | , , X | } T M ，p M ； p p h p p (2) 满足对合条件 [X  ,X  ] Lh span{X 1 ,,X h }，1, h. 。 引理 Frobenius 条件在非退化线性变换下不变。 证明 设有线性变换：  h  X  f X ，1h ，其中f C (M ) ，det | f |0 。   1     1  h   h 则X  L ，且在每一点p M ，X , ,X 张出Lp 。直接计算 1 h