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《每周一讲》高中系列 函数的值域和最值方法探究 1、值域：函数yf (x)，xA，我们把函数值的集合{f (x)|x A}称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最 小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不 同而已。 1、直接观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。尤其对于一些比较简单的函 数，其值域可通过观察得到。 1 例 1. 求函数y  的值域。 x 例2.求函数y 3 23x 的值域。 练习：求函数     的值域。 y  x 0x5 2、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 x1 例1.求函数y  的值域。 x2 10x3 练习：求函数y  的值域。 5x4 3、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域，配方法是求值 域最基本的方法之一。 例1：求函数y  x x22 的值域。 练习：求函数 2  的值域. y x 2x5,x1,2 4、判别式法 若函数可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,先确定原函数的定义域，再结合 的取 x 值范围求出值域，此时可用判别式法求函数的值域。当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但 分子分母有公因式可约分时，此时不能用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意 的是约分后的函数的定义域。 学大教育集团 XueEducationGroup 《每周一讲》高中系列 2x 2x32 例1.求函数y  2 的值域。 x x1 1 练习：求函数y  2 的值域。 2x 3x1 5.基本不等式法 利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。 利用基本不等式ab2 ab ，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件① ;② 为定值；③取 ab2 ab a0,b0 ab 或ab  等号成立的条件ab.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和 k 拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数y x (k 0,nN)n 的值域。 x 例 1.求函数y 2sinxsin2x 的值域。 x x142 例2.求函数y  x2的值域。 x2 2x 练习:求解函数y  的值域。 2x1 6.函数单调性法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。