二阶常微分方程级数解法 幻灯片.pptVIP

P243: 2,3,5 9.3 正则奇点邻域上的级数解法 1. 奇点邻域上的级数解 奇点邻域上的级数解的定理： 若点为方程的奇点，则方程在该点　的邻域 　　　　　　上，方程 存在两个线性独立解，其形式为 或 其中，　　　　　 为常数。 说明： 此定理只给出一个一般性的论断，并未提供确定级数系数的方法，且一般情况下，确定这些常数是有困难的。这里不讨论。 2. 正则奇点邻域上的级数解 正则奇点: 若方程在奇点邻域上的两个线性独立的级数解全都具有有限个负幂项，则该奇点称为方程的正则奇点。 若　　是系数　　　的不高于一阶的极点,且是系数　　　 的 的不高于二阶的极点，即 则该点是方程的正则奇点。 * 第九章 二阶常微分方程级数解法 　　　　本征值问题 特殊函数常微分方程 常点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法 施图姆-刘维尔本征值问题(自学) 特殊函数常微分方程 1.Laplace方程 2.波动方程 3.输运方程 4.亥姆霍兹方程 § (1) 球坐标系中的表示 球坐标系中的Laplace方程为 1.Laplace方程 首先将r与方向变数分离开，设 假设常数为l(l+1),得 Y与半径r无关，故称为球面函数，简称球函数，因此 它的方程称为球函数方程。 解关于R的方程 将球函数方程进一步分离变数，有 第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征值为 对应的本征函数为 这时，另一个方程为 作变换　　　　，有 于是，方程为 即 这称为L阶连带勒让德方程，特例为m=0，有 称为L阶勒让德方程。 注意：此处的x不是直角坐标系中的x，而是 (2) 柱坐标系 柱坐标系中的Laplace方程为 设具有分离变数形式的解为 代入后，得 第二个方程变为 得 讨论： (i) 　　　：R的方程是一个欧拉方程，解为 (ii) 　　　：对R的方程作代换 方程化为 注意: 这里的x不是直角坐标系里的x。 或者写为 这称为m阶贝塞尔方程。 该方程以后讨论，Z的解为 (iii) 　　　：通常记　　　　　　，Z的解为 对R有方程作代换 这称为虚宗量贝塞尔方程，只要把贝塞尔方程的自变量x用ix代换，就将贝塞尔方程变为虚宗量贝塞尔方程。 前面，对三维Laplace方程，在球坐标系中，由 的方程导出L阶勒让德方程，柱坐标系中，由R的方程在两种情况下分别导出贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程。 2. 波动方程 前面讨论波动方程等是在一维情况下，现在讨论三维情况(空间)。波动方程为 分离变数得 代入方程并分离得 关于T的方程的解为 关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹方程以后讨论。 3. 输运方程 三维输运方程为 和对三维波动方程的讨论一样，设 有 与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方程，不同的只是T的方程，这里，T的方程是一阶的，解为 4. 亥姆霍兹方程 与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 (1) 球坐标系 亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为 同样，设试探解 代入整理后得 与Laplace方程时的情况比较，仅是R的方程不同，R的方程可写为 称为L阶的球贝塞尔方程。作代换 得到 这称L+1/2阶的贝塞尔方程。当k=0时，方程则退化为欧拉型方程。 (2) 柱坐标系 柱坐标系中的亥姆霍兹方程为 设具有分离变数形式的解为 代入方程后，一步步的分离，引入常数 ，最后得 第一个方程与自然周期条件一起构成的本征值问题: 令 则R的方程化为 再考虑作代换　　　　　，则有m阶贝塞尔方程 关于这一部分的总结，见P236 说明：在前面讨论波动方程、输运方程时，使用分离变数法，常数　　，按讨论时的情况，是不能这样选取的，因为在实数范围内，该常数只能大于等于零。后面我们将会看到，由于齐次边界条件中，只能这样选值。 9.2 常点邻域上的级数解法 级数解法引入: 对分离变数法得到的二阶常维分方程,考虑在初始条件下的求解方法.即: 是指定点，　　　为常数。 级数解法思想：在某个任选点　的邻域上，待求解表为系数待定的级数，将此级数带入方程和初始条件，确定待定系数，最后得到解。 不失一般性，讨论复变函数的线性二阶常微分方程 是指定点，　　　为复常数。 级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。 对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解法要选 定某个点 作展开中心，得到的解是以 为中心的幂级数。