上海工程技术大学计算方法复习(典型例题) 幻灯片.pptVIP

此时: 令: 得: 所以当: 为三阶多步公式. 局部截断误差主项为: 六 特征值特征向量 特征值及特征向量解法 迭代法 变换法 重要概念 特征值特征向量 QR分解 变换 正交相似 反射 平面旋转 幂法 反幂法 雅可比法 QR法 乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相应特征向量的算法. 设A是n阶矩阵, 其n个特征值按模从大到小排序为 又假设关于λ1, λ2, …, λn的特征向量v1, v2, …,vn 线性无关 一、乘幂法 任意取定初始向量x0 建立迭代公式 ： 故当k→∞时， xk→λ1ka1v1. 因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量 有一严重缺点，当|?1|1 （或| ?1 |1时）{vk}中不 为零的分量将随k的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随k的增大而很快出现下溢） 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先 对向量xk进行“规范化”。 迭代格式改为: 因为 计算方法复习 典型概念例题 零 绪论 误差及算法 误差 算法 分类 度量 传播 舍入 截断 绝对 相对 有效数字 一元函数 n元函数 一 插值与逼近 插值法 工具 多项式插值 分段多项式插值 差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性 分段三次Hermite插值 三次样条插值 函数逼近 预备知识 函数逼近方法 范数 内积 正交多项式 最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘拟合 三角函数逼近 帕德逼近 所以，关于a０，a１为未知数的法方程组为 求g(x)=??x 在P1[0,1]中的最佳平方逼近元 解法一 这是C[0,1]上的最佳平方逼近问题. 取?０＝１, ?１＝x, P1[0,1]＝span{1,x} 记 p1(x)=a０＋a１x (?０,?0)=1，(?０,?1)=1/2， (?1,?1)=1/3 ， (?０,g)=2/3， (?1,g)=2/5. 例1 解得a０=4/15，a１＝4/5 为P1[0,1]中对g(x)= ??x的最佳平方逼近元. 即p1(x)=4/5x+4/15 例1 观测物体过原点的直线运动,得到所示数据,求运动方程. 时间t/s 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s/m 0 10 30 50 80 110 解 作直线模型: at+s=0 n为观测点数 定义残差向量: 所以: 令: 所求运动方程为: 二 数值积分 数值积分 基本概念 Gauss求积公式 代数精度 插值型求积公式 收敛及稳定性 数值求积思想 N-C公式 Romberg求积公式及外推加速 梯形公式 辛普森公式 例2 试确定常数A,B,C及α,使求积公式: 解 代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精确度。是否为高斯型求积公式. 令: 整理得: 所以代数精确度为5次. 因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式. 问题是构造区间[0,1]上带权函数 的两 点Gauss型求积公式. 容易计算出当 时 求A1, A2, x1, x2使求积公式 具有三次代数精确度. 方法1 的积分值分别为 ,所求 公式具有3次代数精确度.故可得 为未知数的方程组为 例1 解 又因为x1,x2为Gauss型求积公式的求积节点 所以它们是区间[0,1]上带权函数 且 首项系数为1的二次正交多项式 的两个根. 不妨记 ,为此 又因为 必须满足(2),(3),(4) (1) (2) (3) (4) 所以由 可得关于p,q的方程组为 解此方程组得 将所求p,q代入 ,求得其根为 再将所求 代入方程(1)(2),联立解得 为此,公式 为所求具有3次代数精确度的求积公式. 三 线性方程组 直接法 选主元Gauss消去法 矩阵三角分解法 向量和矩阵范数 追赶法 矩阵条件数 三 线性方程组 迭代法 基本概念 雅可比迭代 迭代收敛速度 高斯-塞德尔迭代 迭代格式 收敛条件 SOR迭代 例3 解 设线性方程组 的系数矩阵为: (1)写出Jacobi 迭代法的迭代格式 (2)确定a的取值范围，使方程组对应的Gauss-Seidel迭代收敛。 (1) 线性方程组 Jacobi 迭代 (2) 线性方程组 Gauss-Seidel迭代矩阵: 令 得 四 非线性方程求根 求根法 二分法 不动点迭代法及收敛性理论 牛顿迭代法 插值型迭代 弦截法 抛物线法 考虑方程 x = g(x), g(x)?C[a, b], 若 ( I ) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b]； ( II )在[a,b]上成立不等式: |g(x1)-g(x