三垂线定理及其逆定理 幻灯片.pptVIP

一、直 线 和 平 面 三垂线定理 第 九 章 已知 PA、PO分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a? ?，a⊥AO。 求证： a⊥PO 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 三垂线定理 A ? a O P 证明： a⊥PO PA⊥? a ? ? AO⊥a a⊥平面PAO PO?平面PAO PA ⊥a A ? a O P c d e 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理， ①相交直线 ②异面直线 注意： b A o a α P 这两条直线可以是： P C B A 例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC 证明：∵ PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC 例2 直接利用三垂线定理证明下列各题： (1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 　求证：PO⊥BD，PC⊥BD (3) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 　求证：BC⊥AM (1) B (2) P M C A C A D B A1 D1 B1 C1 (3) P O A B C D P M C A B P A O a α 我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？ 解题回顾 A C B D O P C A o D B P 三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？ 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 　　　并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 P A O a 直线a 一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。 例如：当 a⊥? 时，a⊥OA， 但a不垂直于OP 注意：如果将定理中“在平面内”的条 件去掉，结论仍然成立吗？ P A O a α a 解题回顾 √ × ⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于 a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ） ⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 　a⊥b 　　　 　　　　（ ） ⑶若a是平面α的斜线，直线b? α 且b垂直于a在另一平面β内的射影 　则a⊥b 　　　　　　（ ） ⑵若 a是平面α的斜线，平面β内 的直线b垂直于a在平面α内的射 影，则 a⊥b 　　（ ） 练习： 判断下列命题的真假： × × A D C B A1 D1 C1 B1 面ABCD →面α 面B1BCC1→面β 直线A1C →斜线 a 直线AB →垂线 b 一、直 线 和 平 面 三垂线定理的逆定理 第 九 章 三垂线定理包含几种垂直关系？ ②线射垂直 ①线面垂直 ③ 线斜垂直 P A O a α 直 线 和 平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 P A O a α P A O a α 线射垂直 线斜垂直 P A O a α P A O a α 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 ？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 P A O a α 已知：PA，PO分别是平 面?的垂线和斜线，AO 是PO在平面?的射影, a ? ? ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO 三垂线定理的逆定理 例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边　　距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。 ? C B A P O F E 已知：∠BAC在平面?内，点P??，　PE⊥AB，　　　PF⊥AC，PO⊥? ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO 例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC. 证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。 O A D C B ∵AB⊥CD，CD