《线性代数》电子教程之八 幻灯片.pptVIP

主要内容 一、 维向量 二、向量组 三、向量组的线性组合 四、线性表示的概念 五、线性表示与方程的联系 六、线性表示的判定 七、小结 一、线性相关与线性无关的概念 三、线性相关与线性无关的判定 四、向量组线性相关性的其它重要结论 五、小结 定理2推论的证明 第二节 向量组的线性相关性 定义 给定向量组 ，如果存在不全 为零的数 ，使 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关. 说明 说向量组 线性相关，通常是指 的情形，但上述定义也适用 的情形： 当 时，向量组只含一个向量. 向量组 ，当 时是线性相关的，当 时是线性无关的. 向量组 线性无关，就是不存在不全 为零的数 ，使 换句话说：若向量组 线性无关，且 则 零向量可以是任何向量组的线性组合： 如果组合系数可以不全为零，则 线性相关；如果组合系数必须全为零，则 线性无关. 若向量组 线性相关，则存在不全为 零的数 ，使 不妨设 ，则有 所以，若向量组 线性相关，则 中至少有一个向量能由其余 个向量线性 表示. 此结论反之也成立： 若向量组 中某个向量能有其余 个 向量线性表示，则向量组 线性相关. 存在不全为零的数 ，使 就是方程组 有非零解. 证明 二、线性相关与齐次方程组的联系 向量组 线性相关 齐次线性方程组 有非零解. 向量组 线性无关 齐次线性方程组 只有零解. 定理4 向量组 线性相关的充要条件 是它所构成的矩阵 的秩小于向 量个数 ，即 ；向量组 线 性无关的充要条件是它所构成的矩阵的秩等于向量 个数 ，即 . 例题讲解 例5 试讨论 维单位坐标向量组的线性相关性. 解 析：此例题的目的是运用定理4，给出单位 坐标向量组的线性相关性. 维单位坐标向量组 它所构成的矩阵是 阶单位矩阵 由 知 所以 维单位坐标向量组线性无关. 例6 已知 试讨论向量组 及向量组 的线性相关性. 证 析：此题是一个具体问题，根据定理4，需 要计算 和 . 由此可见 所以 线性相关； 线性无关. 例题讲解 例题讲解 注意： 可见 所以 向量组 线性相关； 向量组 线性无关. 例7 已知向量组 线性无关， 试证向量组 线性无关. 证 析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无 关的向量组 的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组 的线性相关性. 对于这一类未给出分量数值的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有一般意义. 因 组向量没有 具体给出它们的分量，故不能具体计算出 组向量， 也就无从通过初等行变换等方法求 组的秩，进而 判定它是否线性相关. 例题讲解 证一 设有 使 即 亦即 因 线性无关，故有 由于此方程组的系数行列式 例题讲解 故方程组只有零解 ，所以向量组 线性无关. 例题讲解 证二 设 即有 因为矩阵 的列向量 组线性无关，所以可推知 又因