§7一阶方程组初值问题数值方法 幻灯片.pptVIP

* §7 一阶方程组初值问题数值方法 7.1 数值方法推广到方程组 其中 考虑问题： 以前讨论过的求解 的各种效方法都可以推广到求解方程组(7.1)。 例如 （1）显式等步长Euler方法 方程(1.1)的解 方程组(7.1)的解 方程组(7.1)的解写成分量形式 （2）经典Runge-Kutta方法 方程(1.1)的解 方程组(7.1)的解 推广 方程组(7.1)的解的分量形式 （3）显式4阶Adams方法 方程(1.1)的解 方程组(7.1)的解 推广 方程组(7.1)的解的分量形式 其它方法也可类似写出。 （2）高阶常微分方程初值问题，通过转化为一阶常微分方程组 说明:(1)隐式方法应用于方程组时，得到的是一组关于 的 n个分量 的方程组 ,通过解方程组来求得 。 初值问题来求解（见§1）。 7.2* 刚性方程组 考虑问题： 方程的解为 其中e-2000x与e-2x都趋于0，但二者衰减速度大不一样，e-2000x在 x=0.01时就衰减到了e-20，而e-2x要到x=10才降到e-20。若用经典 。（经典Runge-Kutta方法的绝对稳定区间为(-2.785,0)， Runge-Kutta方法来求解，考虑到数值稳定性，必须取步长 要使其具有数值稳定性，必须选取步长h使 落在绝对稳定区间 内，即 ，这里 。）若取h = 0.001，则计算到 x=0.01时，e-2000x对应的数值解部分已小于1.7×10-5,计算到x=0.02 时小于2.7×10-10 , 在以后的计算中，快速衰减部分已可忽略。 刚性方程组的定义： 则称(7.7)是刚性的，或坏条件的。S 称为刚性比。 对常系数微分方程组初值问题： 如果矩阵A的特征值 满足 但由于快速衰减部分的影响，步长不可大于0.00139，这样从x=0 计算到x=10，至少要算近7200步，工作量很大。而且当x0.02时， 每前进一步，由于e-2x的影响,数值解变化不大。这种现象就是所谓 的“刚性”现象。这是因为2000与2的差别太大。 若单对缓慢衰减部分e-2x，步长可以取得较大( )。 结论：对于方程组 ，若其Jacobi阵 的特征值 在区间I上满足(7. 8)，则称该方程组在 I 说明：刚性方程组的解法,可用隐式Euler方法、梯形方法、 上是刚性的。 Gear（吉尔）方法和Runge-Kutta方法来解。 §8* 二阶常微分方程边值问题数值方法 考虑方程： 结合下述三种边界条件之一： 边界问题的解法： 8.1 打靶法 将边值问题转化为初值问题考虑。或者说适定选择初始值使初 基本思路： 第三边界问题。 (8.4)式中 。它们分别称为第一、第二、 有限差分法 打靶法、 值问题的解满足边值条件。然后用求解初值问题的任一种有效的数 值方法求解。 以第一边界条件为例 考虑边值问题： 取 ,考虑初值问题 待定，由数值解法求解(8.5)得到在 处的解 ， 使 ，这里 为给定允许误差界，就停止迭代改进 时，求非线性方程 。若 ，则得所求数值解。当 该方程可用二分法、正割法或Newton法等来求解。若求得 进，输出作为数值解。 对第二类边界问题，也可转化为考虑初值问题(8.5)，取 对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取 8.2 有限差分法 则离散化成差分方程 将区间[a,b]进行等分： 以 为待定参数。 ，以 为待定参数。 设在 处的数值解为 。 用中心差分近似微分，即 二阶中心差商 对应的边界条件也离散成 第一边界问题： 第二边界问题： 第三边界问题： 其中 为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过 则近似差分方程成离散差分方程为 其中 变量替换总可以消去方程中的 项，不妨设变换后的方程为 若 是 的线性函数时，f 可写成 将以上方程合并同类项整理得方程组 其中只要 ，则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵， 其中