§5.2Euler方法 幻灯片.pptVIP

第二节 Euler方法 * ? 2009, Henan Polytechnic University * §2 Euler方法 第五章 常微分方程数值解法 * 5.2.1.Euler方法 设节点为xk=x0+kh (h=(b-a)/n k=0,1,…n) 方法一 泰勒展开法 （将y(xk+1)在xk泰勒展开得） 则可得： 方法二 数值微分法（用向前差商近似导数） 方法三 数值积分法 依上述公式逐次计算可得： 也称Euler为单步法， 又称为显格式的单步法。 2 欧拉法的几何意义： 也称欧拉折线法. 从上述几何意义上得知，由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。 3.欧拉法的局部截断误差： 定义 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 定义 　　　若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法具有 1 阶精度。 5.2.2 后退的 欧拉公式（隐式欧拉公式） 向后差商近似导数 由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。 几何意义： 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? 见上图， 显然，这种近似也有一定误差， 如何估计这种误差y(xn+1) ? yn+1 ？ 方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。 但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) , 由于yn +1不准确，所以不能直接用 y (xn+1)代替f(xn+1 , yn +1 ) 设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的方向场f(x,y)方向,若步长h充分小，可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似曲线与垂线的交点。 几何意义 xn xn+1 Pn Pn+1 x y y(x) 隐式欧拉法的局部截断误差： §1 Euler’s Method 隐式欧拉法的局部截断误差： 即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。 §1 Euler’s Method 比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差 显式公式 隐式公式 若将这两种方法进行算术平均， 即可消除误差 的主要部分而获得更高的精度, 称为梯形法 5.2.3 梯形公式 在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的积分用梯形积分公式可得： 梯形法的迭代计算和收敛性 注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。 5.2.4 改进的欧拉格式 欧拉方法容易计算，但精度较低；梯形公式精度高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得到改进的欧拉格式。 上述方法也可以表示为下述两种形式： 5.2.5 欧拉两步公式 中心差商近似导数 x0 x2 x1 假设 ，则可以导出 即中点公式也具有 2 阶精度，且是显式的。 需要2个初值 y0和 y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法