§3.2—§3.3 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 幻灯片.pptVIP

§3.2 柯西-古萨(Cauchy-  Goursat)定理 本节讨论复变函数积分值与积分路径的关系,主要介绍复变函数积分的重要定理——柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理(柯西积分定理) * §3.2 柯西-古萨基本定理 问题的提出 被积函数 在复平面内处处解析，此时积分与路线无关，而被积函数 ，在以 为中心的圆周 的内部不是处处解析的，此时 .虽然在除去 的 内部函数处处解析，但此区域已不是单连通域. 被积函数 ,由于不满足柯西-黎曼方程，故在复平面内处处不解析，此时积分值 与路线有关. 由此可知，积分是否与路线有关，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. * §3.2 柯西-古萨基本定理 一、单连通区域情形 柯西积分定理：如果函数f(z)在闭单通区域 上解析，则沿着区域上任一分段光滑闭合曲线L有 证明： 由于f(z)在区域 上解析， 推广： * §3.2 柯西-古萨基本定理 二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成带孔的区域—所谓的复通区域. 柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 上单值解析，则沿着区域内部任一分段光滑闭合曲线L有： 积分均沿着边界线的正方向进行. 证明：由单连通区域柯西定理 由于 对消，于是有 即 * * 柯西定理的意义： §3.2 柯西-古萨基本定理 例1 解 根据柯西-古萨定理, 有 例2 解 函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有 §3.2 柯西-古萨基本定理 * 例3 解 根据柯西－古萨定理得 §3.2 柯西-古萨基本定理 * §3.3 基本定理的推广-- 复合闭路定理 当闭合曲线内部包围被积函数的奇点,该积分通常不为零,但仍有一定的规律可以研究,由此把柯西积分定理推广到多连通域讨论.本节讨论闭路变形原理及复合闭路变形原理. * § 3.3 复合闭路定理 问题的提出 计算 .因为 是包含 在内的闭曲线 由此希望将柯西-古萨积分基本定理推广到多连通域中。 由第一节讨论可知 一、闭路变形定理 设函数 在多连通域 内解析，灰色为奇点， 及 为 内的任意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向), 在 的内部，且以 及 为边界的区域 全含于 . * §3.3 复合闭路定理 做两条不相交的弧段 (如图所示)，显然 形成两条在 内的简单闭曲线，它们的内部全含于 ，因而有 即 或 * § 3.3 复合闭路定理 此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理 本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。 * §3.3 复合闭路定理 二、 复合闭路变形原理 称C+C1- +C2- +···+Cn-为复围线,记为Γ ,包围着绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么 设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 其中 C及 Ck均取正方向 (1) (2) 这里Γ 由C及 Ck均取组成的复合闭路 或 (其方向为：C按逆时针进行， Ck按顺时针进行) 本定理直观意义:函数沿闭曲线积分, 闭曲线作连续变形而不经过奇点，可以断裂为多段闭曲线，而积分值不变。 * § 3.3 复合闭路定理 三、 典型例题 解：因为函数 在复平面内有两个奇点 z=0和 z=1 依题意知, 例1 根据复合闭路定理 * § 3.3 复合闭路定理 三、 典型例题 例2 计算积分 ,Γ为正向圆周 和负向圆周 所组成. 解： 围城一个圆环域，函数 在此圆环域和其边界上处处解析， 圆环域的边界构成一条复合闭路 根据复合闭路定理 * § 3.3 复合闭路定理 三、 典型例题 例3 计算积分 ,Γ为含a 的任一简单闭路,n为正整数. 解：因为a在曲线Γ 内部,故可取很小的正数 ,使 含在Γ内部. 在以Γ+ Γ1-为边界的复连通域内处处解析